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Themen dieser Aufgabe:

Erwartungswert und Standardabweichung

Binomialverteilung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 2b  (5 BE)

Im Folgenden ist ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=200}$. Die Zufallsgröße ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ beschreibt die Anzahl der Personen unter den ausgewählten Personen, die an einer Allergie leiden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der binomialverteilten Zufallsgröße ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ höchstens um eine Standardabweichung von ihrem Erwartungswert abweicht.

 

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2b

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Erwartungswert und Standardabweichung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=200}$

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Binomialverteilte Zufallsgröße

Eine Zufallsgröße ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist binomialverteilt, wenn es genau zwei Ergebnisse gibt: Niete und Treffer.

In diesem Fall:

Treffer = Person leidet an einer Allergie (${\displaystyle \mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0,25}$)
Niete = Person leidet nicht an einer Allergie (${\displaystyle \mathrm{q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0,75}$)

${\displaystyle \mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0,25}$
${\displaystyle \mathrm{q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0,75}$

Erwartungswert ${\displaystyle {\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ bestimmen:

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Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße

Ist ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ binomialverteilt, dann gilt :

Erwartungswert von ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$: ${\displaystyle \mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle {\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=200\cdot 0,25=50}$



Standardabweichung ${\displaystyle {\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ bestimmen:

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Standardabweichung einer Zufallsgröße

Ist ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ binomialverteilt, dann gilt :

Standardabweichung (Streuung) von ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$: ${\displaystyle \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sqrt{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle {\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\sqrt{200\cdot 0,25\cdot 0,75}=\sqrt{37,5}\approx 6,12}$

Binomialverteilung

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Bereich der geforderten Abweichung bestimmen: ${\displaystyle \left[{\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-{\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}};{\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+{\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right]}$

${\displaystyle {\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-{\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=50-6,12=43,88}$

${\displaystyle {\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+{\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=50+6,12=56,12}$


Wahrscheinlichkeit bestimmen:

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{0,25}^{200}(43,88\le \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le 56,12)}$

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Erläuterung

Da es nur ganze Personen geben kann, muss der Bereich auf ganze Zahlen gerundet werden.

${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ soll höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen. Also muss ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ größer 44 und kleiner 56 sein.
(${\displaystyle 43\le \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le 57}$ wäre falsch.)

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{0,25}^{200}(44\le \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le 56)}$

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Bernoulli-Formel

Wenn die Zufallsvariable ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ zwischen zwei Zahlen ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und ${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ liegen soll, dann gilt:

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}$

"Obere Grenze minus die um 1 verkleinerte untere Grenze"

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{0,25}^{200}(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le 56)-{\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{0,25}^{200}(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le 43)}$

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\stackrel{\text{Tafelwerk}}{=}0,85546-0,14376=0,7117}$

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