Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik T Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.4.6 (9 BE)

Der Graph

G_{- 5}

schließt zusammen mit der Tangente

h

aus 1.4.3 und der

x

-Achse ein endliches Flächenstück ein. Kennzeichnen Sie dieses im Schaubild der Aufgabe 1.4.4 und berechnen Sie seine Flächenmaßzahl auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Lösung zu Teilaufgabe 1.4.6

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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f_{- 5} (x) = \frac{x^{2} - 5 x}{2 x - 4}

h (x) = \frac{7}{12} x - \frac{2}{3}

Skizze:

A = A_{1} + A_{2}

Fläche

A_{1}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Verläuft der Graph einer Funktion

f

oberhalb dem Graphen einer Funktion

g

, so ist der Inhalt eines Flächenstücks zwischen den zwei Funktionsgraphen

G_{f}

und

G_{g}

gegeben durch:

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) dx

Sind die Integrationsgrenzen

a

und

b

nicht explizit vorgegeben, so verwendet man hierfür die Schnittpunkte der beiden Graphen

G_{f}

und

G_{g}

A_{1} = \int_{- 4}^{0} f_{- 5} (x) - h (x) dx

= \int_{- 4}^{0} (\frac{x^{2} - 5 x}{2 x - 4} - (\frac{7}{12} x - \frac{2}{3})) dx

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

In Teilaufgabe 1.4.5 wurde gezeigt, dass

\frac{3}{2} (\frac{1}{6} x^{2} - x - \ln ((x - 2)^{2}))

eine Stammfunktion von

f_{- 5}

ist

= {[\frac{3}{2} (\frac{1}{6} x^{2} - x - \ln ((x - 2)^{2})) - (\frac{7}{24} x^{2} - \frac{2}{3} x)]}_{- 4}^{0}

= [\frac{3}{2} (\frac{1}{6} \cdot 0^{2} - 0 - \ln ((0 - 2)^{2})) - (\frac{7}{24} \cdot 0^{2} - \frac{2}{3} \cdot 0)]

- [\frac{3}{2} (\frac{1}{6} \cdot (- 4)^{2} - (- 4) - \ln ((- 4 - 2)^{2})) - (\frac{7}{24} \cdot (- 4)^{2} - \frac{2}{3} \cdot (- 4))]

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenweg

= \frac{3}{2} (0 - 0 - \ln 4) - 0 - 0 - (\frac{3}{2} (\frac{16}{6} + 4 - \ln 36) - \frac{14}{3} - \frac{8}{3})

= - 2, 079 - (\frac{3}{2} \cdot 3, 083 - \frac{22}{3})

= - 2, 079 - (- 2, 709)

\approx 0, 63

Fläche

A_{2}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

Die Fläche

A_{2}

ist ein Dreieck.

Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

A B C

berechnet sich aus der Hälfte des Produkts aus den beiden Katheten:

A_{Dreieck} = \frac{1}{2} a \cdot b

A_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{21}

A = A_{1} + A_{2} \approx 1, 01

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Themen dieser Aufgabe:

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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