Lösung Abitur Bayern 2012 Mathematik T Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.3 (10 BE)

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von

a

Anzahl, Abszissenwerte und Art der Extrempunkte von

G_{a}

.

[mögliches Teilergebnis:

f_{a}^{'} (x) = \frac{x^{2} - 4 x - 2 a}{2 \cdot (x - 2)^{2}}

]

Lösung zu Teilaufgabe 1.3

Art von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f_{a} (x) = \frac{x^{2} + a x}{2 x - 4}

Erste Ableitung bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

Quotientenregel der Differenzialrechnung

f (x) = \frac{u (x)}{v (x)}

\Rightarrow

f^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{{[v (x)]}^{2}}

Hier ist

u (x) = x^{2} + a x

und

v (x) = 2 x - 4

.
Dann ist

u^{'} (x) = 2 x + a

und

v^{'} (x) = 2

f_{a}^{'} (x) = \frac{(2 x + a) (2 x - 4) - (x^{2} + a x) \cdot 2}{(2 x - 4)^{2}}

= \frac{4 x^{2} - 8 x + 2 a x - 4 a - 2 x^{2} - 2 a x}{(2 (x - 2))^{2}}

= \frac{2 x^{2} - 8 x - 4 a}{4 (x - 2)^{2}}

= \frac{x^{2} - 4 x - 2 a}{2 (x - 2)^{2}}

Erste Ableitung gleich Null setzen:

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für ein Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

f_{a}^{'} (x) = 0

\frac{x^{2} - 4 x - 2 a}{2 (x - 2)^{2}} = 0

Schritt einblenden / ausblenden

x^{2} - 4 x - 2 a = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Die Lösungen zu einer Gleichung der Form

a x^{2} + b x + c = 0

lauten stets:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

x_{1, 2}^{E} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8 a}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4 (4 + 2 a)}}{2} = \frac{4 \pm 2 \cdot \sqrt{4 + 2 a}}{2} = 2 \pm \sqrt{4 + 2 a}

x_{1}^{E} = 2 + \sqrt{4 + 2 a}

x_{2}^{E} = 2 - \sqrt{4 + 2 a}

Fallunterscheidung:

Schritt einblenden / ausblenden

Fallunterscheidung

Unter der Wurzel darf keine negative Zahl stehen.
Der Radikand

4 + 2 a

ist negativ für

a < - 2

, Null für

a = - 2

und positiv für

a > - 2

.
Man unterscheidet also drei Fälle:

1. Fall:

a < - 2

\Rightarrow

Es gibt keine Extremstellen

2. Fall:

a = - 2

\Rightarrow

x^{E} = 2 \notin D = ℝ ∖ {2}

(siehe Teilaufgabe 1.1)

\Rightarrow

Es gibt keine Extremstellen

3. Fall:

a > - 2

\Rightarrow

Es gibt zwei Extremstellen

x_{1}^{E} = 2 + \sqrt{4 + 2 a}

und

x_{2}^{E} = 2 - \sqrt{4 + 2 a}

Vorzeichen der ersten Ableitung untersuchen:

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Die Art eines Extrempunkts wird durch das Vorzeichen der Ableitung bestimmt:

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und liegt ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von

(+)

nach

(-)

an der Stelle

x^{E}

vor, so hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Hochpunkt (Maximum).

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und liegt ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von

(-)

nach

(+)

an der Stelle

x^{E}

vor, so hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Tiefpunkt (Minimum).

\frac{x^{2} - 4 x - 2 a}{2 (x - 2)^{2}} > 0

Schritt einblenden / ausblenden

Vorzeichen eines Bruches

Die erste Ableitung ist ein Bruch.

Ein Bruch ist positiv wenn Zähler und Nenner entweder beide positiv oder beide negativ sind (z.B.

\frac{3}{5} > 0

oder

\frac{- 3}{- 5} > 0

).

Ein Bruch ist negativ wenn Zähler und Nenner verschiedenes Vorzeichen haben (z.B.

\frac{- 3}{5} < 0

oder

\frac{3}{- 5} < 0

)

Da

2 (x - 2)^{2} > 0

für alle

x \in D

genügt es den Zähler zu betrachten.

x^{2} - 4 x - 2 a > 0

x^{2} - 4 x - 2 a

kann als eine nach oben geöffnete Parabel aufgefasst werden mit Nullstellen bei

2 + \sqrt{4 + 2 a}

und

2 - \sqrt{4 + 2 a}

An der Stelle

2 + \sqrt{4 + 2 a}

findet ein Vorzeichenwechsel von

(-)

nach

(+)

statt.

\Rightarrow

Minimum an der Stelle

x_{1}^{E} = 2 + \sqrt{4 + 2 a}

An der Stelle

2 - \sqrt{4 + 2 a}

findet ein Vorzeichenwechsel von

(+)

nach

(-)

statt.

\Rightarrow

Maximum an der Stelle

x_{2}^{E} = 2 - \sqrt{4 + 2 a}

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Themen dieser Aufgabe:

Art von Extrempunkten ermitteln

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