Lösung Abitur Bayern 2011 Mathematik T Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.3 (5 BE)

Entnehmen Sie einer entsprechenden Markierung im Diagramm der Aufgabe 2.2 zu einem beliebigen Zeitpunkt

t

das Zeitintervall

Δ t

, für das folgende Bedingung gilt:

B (t + Δ t) = 2 \cdot B (t)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass das Zeitintervall

Δ t

unabhängig vom Zeitpunkt

t

ist, und berechnen Sie

Δ t

auf eine Nachkommastelle gerundet.

Lösung zu Teilaufgabe 2.3

Nachweis eines Sachverhaltes

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Gesucht ist das Zeitintervall

Δ t

, in dem sich die Bevölkerungszahl verdoppelt.

Zeichnerische Lösung:

In der Skizze zeichnet man die Werte

t_{1}

und

t_{2}

ein, für die beispielsweise

B (t_{1}) = 4 \cdot 10^{9}

und

B (t_{2}) = 8 \cdot 10^{9}

gilt.

Messen des Abstandes zwischen

t_{1}

und

t_{2}

ergibt ca.

2, 9 cm

.
Umgerechnet (Maßstab:

25 Jahre = 1 cm

) entspricht dies einem Zeitintervall von

Δ t = 2, 9 \cdot 25 = 72, 5

Rechnerische Lösung:

B (t + Δ t) = 2 \cdot B (t)

B_{0} \cdot e^{r (t + Δ t)} = 2 \cdot B_{0} \cdot e^{r t}

| : B_{0}

e^{r t} \cdot e^{r Δ t} = 2 \cdot e^{r t}

| : e^{r t}

(e^{r t} > 0)

e^{r Δ t} = 2

|

logarithmieren

r Δ t = \ln 2

Δ t = \frac{\ln 2}{r}

\Rightarrow

Δ t

ist unabhängig von

t

Mit

r = 9, 43 \cdot 10^{- 3}

ergibt sich:

Δ t = \frac{\ln 2}{9, 43 \cdot 10^{- 3}} \approx 73, 5

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Themen dieser Aufgabe:

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