Lösung Abitur Bayern 2011 Mathematik T Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.4 (8 BE)

Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion

f_{a}

und ermitteln Sie damit Art und Lage der Extrempunkte des Graphen

G_{a}

.

[Mögliches Teilergebnis:

f_{a}^{'} (x) = \frac{(x + 2 a)^{2} - 1}{2 (x + 2 a)^{2}}

]

Lösung zu Teilaufgabe 1.4

Monotonieverhalten einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Erste Ableitung bilden:

f_{a}^{'} (x) = {(\frac{x^{2} + 2 a x + 1}{2 x + 4 a})}^{'}

Schritt einblenden / ausblenden

Quotientenregel der Differenzialrechnung

f (x) = \frac{u (x)}{v (x)}

\Rightarrow

f^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{{[v (x)]}^{2}}

Hier ist

u (x) = x^{2} + 2 a x + 1

und

v (x) = 2 x + 4 a

.
Dann ist

u^{'} (x) = 2 x + 2 a

und

v^{'} (x) = 2

f_{a}^{'} (x) = \frac{(2 x + 2 a) \cdot (2 x + 4 a) - (x^{2} + 2 a x + 1) \cdot 2}{(2 x + 4 a)^{2}}

= \frac{4 x^{2} + 8 a x + 4 a x + 8 a^{2} - 2 x^{2} - 4 a x - 2}{(2 x + 4 a)^{2}}

= \frac{2 x^{2} + 8 a x + 8 a^{2} - 2}{[2 \cdot (x + 2 a)]^{2}}

= \frac{2 \cdot (x^{2} + 4 a x + 4 a^{2} - 1)}{4 \cdot (x + 2 a)^{2}}

= \frac{x^{2} + 4 a x + 4 a^{2} - 1}{2 \cdot (x + 2 a)^{2}}

= \frac{(x + 2 a)^{2} - 1}{2 \cdot (x + 2 a)^{2}}

Vorzeichen der ersten Ableitung untersuchen:

f_{a}^{'} (x) > 0

Schritt einblenden / ausblenden

Monotonieverhalten einer Funktion

Für stetige Funktionen besteht eine Beziehung zwischen Monotonie und Ableitung, da die Ableitung die Steigung der Funktion angibt.

Es gilt:

f^{'} (x) > 0 :

Die Funktion steigt in diesem Bereich streng monoton.

f^{'} (x) < 0 :

Die Funktion fällt in diesem Bereich streng monoton.

\frac{(x + 2 a)^{2} - 1}{2 \cdot (x + 2 a)^{2}} > 0

Schritt einblenden / ausblenden

Vorzeichen eines Bruches

Die erste Ableitung ist ein Bruch.

Ein Bruch ist positiv wenn Zähler und Nenner entweder beide positiv oder beide negativ sind (z.B.

\frac{3}{5} > 0

oder

\frac{- 3}{- 5} > 0

).

Ein Bruch ist negativ wenn Zähler und Nenner verschiedenes Vorzeichen haben (z.B.

\frac{- 3}{5} < 0

oder

\frac{3}{- 5} < 0

)

Da

2 \cdot (x + 2 a)^{2} > 0

für alle

x \in D_{f_{a}}

betrachtet man nur den Zähler:

2 \cdot (x + 2 a)^{2} > 0

für alle

x \in D_{f_{a}}

betrachtet man nur den Zähler:

(x + 2 a)^{2} - 1 > 0

(x + 2 a)^{2} - 1 = 0

(x + 2 a)^{2} = 1

x + 2 a = \pm 1

x = \pm 1 - 2 a

Die Funktion

(x + 2 a)^{2} - 1

ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen bei

- 1 - 2 a

und

1 - 2 a

Für

x < - 1 - 2 a

und für

x > 1 - 2 a

ist

f_{a}^{'} (x) > 0

G_{f_{a}}

ist also im Bereich

] - \infty; - 1 - 2 a [

\cup

] 1 - 2 a; \infty [

streng monoton steigend.

Für

- 1 - 2 a < x < 1 - 2 a

ist

f^{'} (x) < 0

G_{f_{a}}

ist also im Bereich

] - 1 - 2 a; 1 - 2 a [

streng monoton fallend.

Art von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Die Nullstellen der Ableitung sind

x_{1}^{E} = - 1 - 2 a

und

x_{2}^{E} = 1 - 2 a

. Hier liegen Extremstellen vor.

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Die Art eines Extrempunkts wird durch das Vorzeichen der Ableitung bestimmt:

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und liegt ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von

(+)

nach

(-)

an der Stelle

x^{E}

vor, so hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Hochpunkt (Maximum).

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und liegt ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von

(-)

nach

(+)

an der Stelle

x^{E}

vor, so hat der Graph der Funktion an dieser Stelle einen Tiefpunkt (Minimum).

G_{f_{a}}

ist im Bereich

] - \infty; - 1 - 2 a [

streng monoton steigend und im Bereich

] - 1 - 2 a; 1 - 2 a [

streng monoton fallend. An der Stelle

x_{1}^{E} = - 1 - 2 a

liegt folglich ein Maximum vor.

G_{f_{a}}

ist im Bereich

] - 1 - 2 a; 1 - 2 a [

streng monoton fallend und im Bereich

] 1 - 2 a; \infty [

streng monoton steigend. An der Stelle

x_{2}^{E} = 1 - 2 a

liegt folglich ein Minimum vor.

Lage von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Berechnen der Funktionswerte:

f (x_{1}^{E}) = f (- 1 - 2 a) = \frac{(- 1 - 2 a)^{2} + 2 a \cdot (- 1 - 2 a) + 1}{2 \cdot (- 1 - 2 a) + 4 a}

= \frac{1 + 4 a + 4 a^{2} - 2 a - 4 a^{2} + 1}{- 2 - 4 a + 4 a}

= \frac{2 a + 2}{- 2}

= - a - 1

\Rightarrow

Hochpunkt

H_{a} (- 1 - 2 a | - a - 1)

f (x_{2}^{E}) = f (1 - 2 a) = \frac{(1 - 2 a)^{2} + 2 a \cdot (1 - 2 a) + 1}{2 \cdot (1 - 2 a) + 4 a}

= \frac{1 - 4 a + 4 a^{2} + 2 a - 4 a^{2} + 1}{2 - 4 a + 4 a}

= \frac{- 2 a + 2}{2}

= - a + 1

\Rightarrow

Tiefpunkt

T_{a} (1 - 2 a | - a + 1)

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Themen dieser Aufgabe:

Monotonieverhalten einer Funktion

Art von Extrempunkten ermitteln

Lage von Extrempunkten ermitteln

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