Lösung Abitur Bayern 2011 Mathematik T Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.7.1 (9 BE)

Für

a = - 1

erhält man nach entsprechender Umformung die Funktion

f_{- 1} : x \mapsto \frac{x}{2} + \frac{1}{2 x - 4}

in ihrer maximalen Definitionsmenge

D_{- 1}

.

Der Graph

G_{- 1}

begrenzt mit den drei Geraden mit den Gleichungen

y = 0

x = k

und

x = k + 1

mit

k \in ℝ

und

k > 2

ein Flächenstück

A_{k}

Kennzeichnen Sie für

k = 3

das Flächenstück

A_{3}

im Schaubild der Aufgabe 1.6 und zeigen Sie, dass für die von

k

abhängige Flächenmaßzahl

F

des Flächenstücks

A_{k}

gilt:

F (k) = \frac{1}{2} \cdot (k + \frac{1}{2} + \ln \frac{k - 1}{k - 2})

Lösung zu Teilaufgabe 1.7.1

Flächenberechnung

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f_{- 1} (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x - 4} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2 x - 4}

Skizze:

Berechnung der Fläche:

Schritt einblenden / ausblenden

Die Fläche die

G_{f_{- 1}}

mit der

x

-Achse zwischen

k

und

k + 1

einschließt, ist gegeben durch das bestimmte Integral:

F (k) = | \int_{k}^{k + 1} f_{- 1} (x) dx |

Da für

k > 2

das Flächenstück oberhalb der

x

-Achse liegt, können die Betragsstriche weggelassen werden.

F (k) = \int_{k}^{k + 1} f_{- 1} (x) dx

= \int_{k}^{k + 1} \frac{x}{2} + \frac{1}{2 x - 4} dx

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

= {[\frac{1}{4} x^{2}]}_{k}^{k + 1} + \int_{k}^{k + 1} \frac{1}{2 x - 4} dx

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmisches Integrieren

Ist

f

eine Funktion der Form

f (x) = \frac{g^{'} (x)}{g (x)}

, so gilt:

\int f (x) dx = \ln | g (x) |

Hier muss erst umgeformt werden:

\int_{k}^{k + 1} \frac{1}{2 x - 4} dx = \int_{k}^{k + 1} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2 x - 4} dx = \frac{1}{2} \cdot \int_{k}^{k + 1} \frac{2}{2 x - 4} dx

Dann ist

g (x) = 2 x - 4

und

g^{'} (x) = 2

= {[\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} \ln | 2 x - 4 |]}_{k}^{k + 1}

= (\frac{1}{4} (k + 1)^{2} + \frac{1}{2} \ln | 2 \cdot (k + 1) - 4 |) - (\frac{1}{4} k^{2} + \frac{1}{2} \ln | 2 k - 4 |)

= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} (k + 1)^{2} + \ln | 2 \cdot (k + 1) - 4 | - \frac{1}{2} k^{2} - \ln | 2 k - 4 |)

= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k^{2} + k + \frac{1}{2} + \ln | 2 k - 2 | - \frac{1}{2} k^{2} - \ln | 2 k - 4 |)

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag

Für

k > 2

ist

2 k - 2 > 0

und

2 k - 4 > 0

. Die Betragsstriche können hier also weggelassen werden.

= \frac{1}{2} (k + \frac{1}{2} + \ln (2 k - 2) - \ln (2 k - 4))

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmus eines Quotienten

Logarithmus eines Quotienten:

\ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b

= \frac{1}{2} (k + \frac{1}{2} + \ln \frac{2 k - 2}{2 k - 4})

= \frac{1}{2} (k + \frac{1}{2} + \ln \frac{k - 1}{k - 2})

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