Lösung Abitur Bayern 2011 Mathematik T Analytische Geometrie B II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.5 (4 BE)

Bestimmen Sie den Winkel

φ

zwischen zwei

C

H

-Bindungen, also z.B. den Winkel

P C S_{1}

Lösung zu Teilaufgabe 2.5

Winkel zwischen zwei Vektoren

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Vektoren

\vec{C P}

und

\vec{C S_{1}}

bestimmen:

\vec{C P} = \vec{O P} - \vec{O C} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{matrix})

\vec{C S_{1}} = \vec{O S_{1}} - \vec{O C} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{matrix})

Winkel

φ

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \circ \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren:

\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

(Formel zur Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren)

\cos φ = \frac{\vec{C P} \circ \vec{C S_{1}}}{| \vec{C P} | \cdot | \vec{C S_{1}} |}

\cos φ = \frac{(\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{matrix})}{| (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) |}

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ist folgendermaßen definiert:

\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

\cos φ = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + (- \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} + (- \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2}}{| (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) |}

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

Für den Richtungsvektor der

x_{1} x_{2}

-Ebene

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

gilt z.B:

| \vec{n_{E}} | = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = 1

\cos φ = \frac{- \frac{1}{4}}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2}} \cdot \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}}

\cos φ = \frac{- \frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{3}{4}}} = \frac{- \frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = - \frac{1}{3}

\Rightarrow

φ = \cos^{- 1} (- \frac{1}{3}) \approx 109, 47^{\circ}

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen zwei Vektoren

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