Lösung Abitur Bayern 2011 Mathematik T Analytische Geometrie B II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.2 (6 BE)

Bestimmen Sie, für welche Werte des Parameters

k

die Pyramide ein reguläres Tetraeder, also eine gleichseitige Pyramide ist.

Lösung zu Teilaufgabe 1.2

Länge eines Vektors

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Die Punkte

S_{k}

liegen auf der Geraden

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + k \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Für ein Tetraeder muss gelten:

Schritt einblenden / ausblenden

Reguläres Tetraeder

In einem reguläres Tetraeder sind alle Seiten gleich lang. Es gilt also:

| \vec{P Q} | = | \vec{P R} | = | \vec{Q R} | = | \vec{P S_{k}} | = | \vec{Q S_{k}} | = | \vec{R S_{k}} |

Da die Punkte

P

Q

und

R

festgelegt sind und diese Bedingung bereits erfüllen und alle Punkte

S_{k}

auf der Geraden

g

gleich weit von den Punkten

P

Q

und

R

entfernt sind, reicht folgende Bedingung aus:

| \vec{P Q} | = | \vec{P S_{k}} |

\vec{P Q} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

(siehe Aufgabe 1.1)

\vec{P S_{k}} = \vec{O S_{k}} - \vec{O P} = (\begin{matrix} k \\ k \\ k \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} k - 1 \\ k \\ k \end{matrix})

Längen der Vektoren berechnen:

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

Für den Richtungsvektor der

x_{1} x_{2}

-Ebene

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

gilt z.B:

| \vec{n_{E}} | = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = 1

| \vec{P Q} | = \sqrt{(- 1)^{2} + 1^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2}

| \vec{P S_{k}} | = \sqrt{(k - 1)^{2} + k^{2} + k^{2}} = \sqrt{3 k^{2} - 2 k + 1}

Seitenlängen gleichsetzen:

| \vec{P Q} | = | \vec{P S_{k}} |

\sqrt{2} = \sqrt{3 k^{2} - 2 k + 1}

2 = 3 k^{2} - 2 k + 1

3 k^{2} - 2 k - 1 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Die Lösungen zu einer Gleichung der Form

a x^{2} + b x + c = 0

lauten stets:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

k_{1, 2} = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{(- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6}

k_{1} = \frac{2 + 4}{6} = 1

k_{2} = \frac{2 - 4}{6} = - \frac{1}{3}

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe 1.2

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Teilaufgabe 2.2

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Teilaufgabe 2.4

Teilaufgabe 2.5

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Themen dieser Aufgabe:

Länge eines Vektors

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