Lösung Abitur Bayern 2011 Mathematik T Analytische Geometrie B II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.3 (4 BE)

Der Punkt

T

ist der Fußpunkt des vom Punkt

R

auf die Ebene

F

gefällten Lotes. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes

T

.
[Ergebnis:

T (\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{3})

]

Lösung zu Teilaufgabe 2.3

Lotfußpunkt auf eine Ebene

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Lotgerade

l

durch

R

und senkrecht zu

F : x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1

aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Lotgerade auf einer Ebene

Eine Gerade

l

ist durch einen Ortsvektor

\vec{O P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

l : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

λ \in ℝ

Die Lotgerade

l

geht durch den Punkt

R

und steht senkrecht zur Ebene

F

. Der Ortsvektor des Aufpunkts ist somit

\vec{O R}

und der Richtungsvektor ist gleich dem Normalenvektor der Ebene

\vec{n_{F}}

, da dieser senkrecht zur Ebene

F

steht.

l : \vec{X} = \vec{O R} + λ \cdot \vec{n_{F}}

λ \in ℝ

l : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

Lotgerade

l

mit Ebene

F

schneiden:

l \cap F

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E

in einem Punkt

P

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E

.

Man setzt

g

E^{N}

ein und löst nach

λ

auf.

Hier wird also

l

F^{N}

eingesetzt und nach

λ

aufgelöst.

λ + λ - (1 - λ) = 1

3 λ = 2

λ = \frac{2}{3}

λ = \frac{2}{3}

l

einsetzen und Lotfußpunkt

T

bestimmen:

\vec{O T} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + \frac{2}{3} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{matrix})

\Rightarrow

T (\frac{2}{3} | \frac{2}{3} | \frac{1}{3})

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Themen dieser Aufgabe:

Lotfußpunkt auf eine Ebene

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