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Abitur 2011 Mathematik T Analytische Geometrie B II
In einem kartesischen Koordinatensystem des sind die Punkte , , und mit gegeben.
Teilaufgabe 1.1 (6 BE)
Berechnen Sie die Werte des Parameters für die die gegebenen Punkte eine dreiseitige Pyramide aufspannen.
Teilaufgabe 1.2 (6 BE)
Bestimmen Sie, für welche Werte des Parameters die Pyramide ein reguläres Tetraeder, also eine gleichseitige Pyramide ist.
Methan ist eine Kohlenstoffwasserverbindung. Das Molekül hat die Form eines regulären Tetraeders, in dessen Ecken sich die -Atome befinden. Das -Atom liegt im Punkt , gleich weit von allen -Atomen entfernt. Der Punkt teilt die Höhen des Tetraeders im Verhältnis . Die Ecken des Tetraeders, also die Lage der -Atome, seien die Punkte aus Aufgabe 1 mit , also , , und .
Teilaufgabe 2.1 (3 BE)
Die Punkte , und liegen in einer Ebene . Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform.
[Mögliches Ergebnis: ]
[Mögliches Ergebnis: ]
Teilaufgabe 2.2 (3 BE)
Bestimmen Sie das Volumen des Tetraeders .
Teilaufgabe 2.3 (4 BE)
Der Punkt ist der Fußpunkt des vom Punkt auf die Ebene gefällten Lotes. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes .
[Ergebnis: ]
[Ergebnis: ]
Teilaufgabe 2.4 (4 BE)
Berechnen Sie die Koordinaten des -Atoms.
[Ergebnis: ]
[Ergebnis: ]
Teilaufgabe 2.5 (4 BE)
Bestimmen Sie den Winkel zwischen zwei --Bindungen, also z.B. den Winkel .
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