Lösung Abitur Bayern 2011 G9 Abitur Mathematik LK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 5 (6 BE)

Berichten der Europäischen Zentralbank zufolge war in der ersten Hälfte des Jahres 2009 etwa jeder

12700

-ste 20-Euro-Schein gefälscht.
Es wird vermutet, dass die Fälschungsquote bei den 20-Euro-Scheinen inzwischen auf über

8 \cdot 10^{- 5}

angestiegen ist. Um diese Vermutung (Nullhypothese) zu testen, werden von der Bundesbank zehn Millionen zufällig ausgewählte 20-Euro-Scheine geprüft. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel auf einem Signifikanzniveau von

5 %

unter Verwendung der Normalverteilung als Näherung.

Lösung zu Teilaufgabe 5

Hypothesentest - Fehler erster Art

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Text analysieren und Daten herauslesen:

Nullhypothese:

H_{0} : p_{0} > 8 \cdot 10^{- 5} = 0, 00008

Alternative:

H_{1} : p_{1} = \frac{1}{12700}

Stichprobenumgang:

n = 10 000 000 = 10^{7}

Signifikanzniveau:

α = 5 %

Annahmebereich von

H_{0}

A = [k + 1, 10^{7}]

Ablehnungsbereich von

H_{0}

\bar{A} = [0, k]

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Nullhypothese

Es wird vermutet, dass die Fälschungsquote bei den 20-Euro-Scheinen inzwischen auf über

8 \cdot 10^{- 5}

angestiegen ist. Somit liegt der Annahmebereich rechts und der Ablehnungsbereich links.

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Fehler 1.Art

Man spricht von "Fehler 1. Art" wenn die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird.

Das ist der Fall wenn

H_{0}

wahr ist, man sich aber gegen

H_{0}

entscheidet, da das Stichprobenergebnis zufällig im Ablehnungsbereich liegt (

Z \leq k

\Rightarrow

Fehler erster Art:

P_{0, 00008}^{10^{7}} (Z \leq k) \leq 0, 05

Gesucht ist nun der Fehler erster Art:

P_{0, 00008}^{10^{7}} (Z \leq k) \leq 0, 05

Binomialverteilung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Erwartungswert und Standardabweichung bestimmen:

μ = n \cdot p = 10^{7} \cdot 0, 00008 = 800

σ = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{10^{7} \cdot 0, 00008 \cdot 0, 99992} \approx 28, 28

Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung:

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Normalverteilung

Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung:

P_{p}^{n} (Z \leq k) \approx Φ (\frac{k + 0, 5 - μ}{σ}) = Φ (\frac{k + 0, 5 - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}})

Dabei ist:

μ = n \cdot p

der Erwartungswert

σ = \sqrt{n \cdot p \cdot q}

die Standardabweichung

0, 5

die Stetigkeitskorrektur

P_{0, 00008}^{10^{7}} (Z \leq k) \approx Φ (\frac{k + 0, 5 - 800}{28, 28}) \leq 0, 05

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Tafelwerk

Aus den Quantilen des stochastischen Tafelwerks entnimmt man:

0, 05 = Φ (- 1, 645)

Φ (\frac{k + 0, 5 - 800}{28, 28}) \leq Φ (- 1, 645)

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Monotonieverhalten einer Funktion

Die Funktion

Φ

ist stetig und streng monoton steigend. Folglich gilt:

Φ (Z_{1}) = Φ (Z_{2})

\Leftrightarrow

Z_{1} = Z_{2}

\frac{k - 799, 5}{28, 28} \leq - 1, 645

k \leq - 1, 645 \cdot 28, 28 + 799, 5

k \leq 752, 97

\Rightarrow

k \leq 752

Ablehnungsbereich:

\bar{A} = [0, 752]

Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn höchstens 752 Fälschungen gefunden werden.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 4a

Teilaufgabe 4b

Teilaufgabe 5

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Fehler erster Art

Binomialverteilung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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