Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1f (6 BE)

Das Radar in

Z

erfasst alle Objekte im Luftraum bis zu einer Entfernung von 50 km. Berechnen Sie die Länge der Flugstrecke von

F_{2}

im Überwachungsbereich des Radars.

Lösung zu Teilaufgabe 1f

Länge eines Vektors

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g_{2} : \vec{X} = (\begin{matrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 10 \\ - 10 \\ 0 \end{matrix})

μ \in ℝ

Allgemeiner Geradenpunkt

\vec{P} = (\begin{matrix} 40 + 10 μ \\ 50 - 10 μ \\ 10 \end{matrix})

Z (20 | 30 | 0)

(siehe Teilaufgabe 1c)

Punkte auf der Geraden

g_{2}

bestimmten, die vom Punkt

Z

50 km entfernt sind:

d (Z, P) = 50

\Leftrightarrow

| \vec{Z P} | = 50

| \vec{Z P} | = | \vec{P} - \vec{Z} | = | (\begin{matrix} 40 + 10 μ \\ 50 - 10 μ \\ 10 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 20 \\ 30 \\ 0 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} 20 + 10 μ \\ 20 - 10 μ \\ 10 \end{matrix}) |

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Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

= \sqrt{{(\begin{matrix} 20 + 10 μ \\ 20 - 10 μ \\ 10 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{(20 + 10 μ)^{2} + (20 - 10 μ)^{2} + 10^{2}}

= \sqrt{400 + 400 μ + 100 μ^{2} + 400 - 400 μ + 100 μ^{2} + 100}

= \sqrt{900 + 200 μ^{2}}

\sqrt{900 + 200 μ^{2}} = 50

(Quadrieren)

900 + 200 μ^{2} = 2500

\Rightarrow

μ^{2} = 8

\Rightarrow

μ_{1, 2} = \pm \sqrt{8}

μ_{1, 2}

g_{2}

einsetzen:

\vec{P_{1}} = (\begin{matrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end{matrix}) + \sqrt{8} \cdot (\begin{matrix} 10 \\ - 10 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 40 + 10 \sqrt{8} \\ 50 - 10 \sqrt{8} \\ 10 \end{matrix})

\vec{P_{2}} = (\begin{matrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end{matrix}) - \sqrt{8} \cdot (\begin{matrix} 10 \\ - 10 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 40 - 10 \sqrt{8} \\ 50 + 10 \sqrt{8} \\ 10 \end{matrix})

Länge der Flugstrecke im Überwachungsbereich bestimmen:

| \vec{P_{2} P_{1}} | = | \vec{P_{1}} - \vec{P_{2}} | = | (\begin{matrix} 40 + 10 \sqrt{8} \\ 50 - 10 \sqrt{8} \\ 10 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 40 - 10 \sqrt{8} \\ 50 + 10 \sqrt{8} \\ 10 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} 20 \sqrt{8} \\ - 20 \sqrt{8} \\ 0 \end{matrix}) |

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Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

= \sqrt{{(\begin{matrix} 20 \sqrt{8} \\ - 20 \sqrt{8} \\ 0 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{{(20 \sqrt{8})}^{2} + {(- 20 \sqrt{8})}^{2}}

= \sqrt{6400}

= 80

\Rightarrow

Die Flugstrecke im Überwachungsbereich ist 80 km lang

Alternative Lösung

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1. Abstand zwischen der Gerade

g_{2}

und dem Punkt

Z

bestimmen.

Hilfsebene

H

in Normalenform aufstellen, die als Aufpunkt

Z

hat und senkrecht zu

g_{2}

verläuft:

H : \vec{X} \circ (\begin{matrix} 10 \\ - 10 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 \\ 30 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 10 \\ - 10 \\ 0 \end{matrix})

H : 10 x_{1} - 10 x_{2} = - 100

Schnittpunkt S von

g_{2}

mit

H

\begin{matrix} 10 (40 + 10 μ) - 10 (50 - 10 μ) & = & - 100 \\ 400 + 100 μ - 500 + 100 μ & = & - 100 \\ 200 μ - 100 & = & - 100 \\ μ & = & 0 \end{matrix}

μ = 0

g_{2}

einsetzen:

\vec{S} = (\begin{matrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end{matrix}) + 0 (\begin{matrix} 10 \\ - 10 \\ 10 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end{matrix})

Abstand bestimmen:

d (Z, g_{2}) = | \vec{Z S} | = | (\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 10 \end{matrix}) | = \sqrt{400 + 400 + 100} = 30

Dieser Abstand entspricht der Höhe des Dreiecks

P_{2} Z P_{1}

2. Strecke

\bar{P_{2} P_{1}}

mit dem Satz des Pythagoras bestimmen.

\frac{1}{2} \bar{P_{2} P_{1}} = \sqrt{50^{2} - 30^{2}} = 40

\bar{P_{2} P_{1}} = 2 \cdot 40 = 80

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3

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Länge eines Vektors

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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