Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (3 BE)

F_{1}

überfliegt in einer Höhe von 6 km eine Radarstation im Punkt

Z

der

x_{1} x_{2}

-Ebene. Bestimmen Sie die Koordinaten von

Z

. [Ergebnis:

Z (20 | 30 | 0)

]

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Abstand Punkt - Ebene

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g_{1} : \vec{X} = (\begin{matrix} - 10 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{matrix})

λ \in ℝ

E : \vec{X} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = 0

\Leftrightarrow

E : x_{3} = 0

(

x_{1} x_{2}

-Ebene)

Z \in E

\Rightarrow

Z (x_{1} | x_{2} | 0)

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Der Punkt auf der Geraden

g_{1}

mit Abstand 6 von der

x_{1} x_{2}

-Ebene, hat als

x_{3}

-Koordinate

x_{3} = 6

. Die

x_{3}

-Koordinate eines jeden Punktes im Raum sagt aus, wie weit dieser Punkt von der

x_{1} x_{2}

-Ebene entfernt ist.

Der allgemeine Punkt der Geraden

g_{1}

ist:

\vec{X} = (\begin{matrix} - 10 + 5 λ \\ 5 λ \\ λ \end{matrix})

\Rightarrow

Für

λ = 6

hat die

x_{3}

-Koordinate des Punkts den Wert 6.

d (g_{1}, E) = 6

\Rightarrow

λ = 6

λ = 6

in die Geradengleichung einsetzen:

\vec{Z^{'}} = (\begin{matrix} - 10 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + 6 \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 \\ 30 \\ 6 \end{matrix})

\Rightarrow Z^{'} (20 | 30 | 6)

Schritt einblenden / ausblenden

Lage des Punktes

Der Punkt

Z^{'}

liegt auf der Geraden

g_{1}

und ist von der

x_{1} x_{2}

-Ebene 6 (km) entfernt.

Der Punkt

Z

liegt direkt "unterhalb" von

Z^{'}

in der

x_{1} x_{2}

-Ebene. Seine Koordinaten stimmen somit bis auf die

x_{3}

-Koordinate mit

Z^{'}

überein. Da

Z

in der

x_{1} x_{2}

-Ebene liegt, ist seine

x_{3}

-Koordinate Null.

(Man sagt auch,

Z

ist die orthogonale Projektion des Punktes

Z^{'}

auf die Ebene. Oder auch der Lotfußpunkt des Lotes durch

, Z^{'}

\Rightarrow Z (20 | 30 | 0)

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Abstand Punkt - Ebene

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
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