Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1f (7 BE)

Der Umkreis des Dreiecks

A B C

und der Punkt

S

legen einen Kegel fest. Zeigen Sie, dass es sich um einen geraden Kegel handelt, der Mittelpunkt des Grundkreises also zugleich der Höhenfußpunkt des Kegels ist.
Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Kegels größer ist als das Volumen der Pyramide

A B C S

Lösung zu Teilaufgabe 1f

Mittelpunkt einer Strecke

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Schritt einblenden / ausblenden

Thaleskreis

Das Dreieck

A B C

ist bei

C

rechtwinklig. Der Umkreis (alle 3 Ecken liegen auf dem Kreis) ist somit der Thaleskreis.

Der Mittelpunkt

M

des Kreises ist also der Mittelpunkt der Hypotenuse

[A B]

.

(im Allgemeinen ist der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten)

Mittelpunkt

M

des Umkreises (Thaleskreis) bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt

M

einer Strecke

[A B]

ist stets gegeben durch:

\vec{M} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{A} + \vec{B})

\vec{M} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{A} + \vec{B})

\vec{M} = \frac{1}{2} \cdot [(\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 6 \\ - 7 \\ 1 \end{matrix})] = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3, 5 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

\Rightarrow

M (3, 5 | 0 | 2)

Lagebeziehung von Vektoren

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Vektor

\vec{M S}

bestimmen:

\vec{M S} = \vec{S} - \vec{M} = (\begin{matrix} 11, 5 \\ 4 \\ - 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3, 5 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \\ 4 \\ - 8 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Gerader Kegel

Liegt ein gerader Kegel vor, so steht die Verbindungsstrecke zwischen Spitze und Mittelpunkt des Grundkreises (hier der Vektor

\vec{M S}

) senkrecht zur Grundfläche (hier die Ebene

E

\vec{A B}

ist ein Richtungsvektor)

Prüfen ob der Vektor

\vec{M S}

senkrecht zur Ebene

E

steht:

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{M S} = (\begin{matrix} 8 \\ 4 \\ - 8 \end{matrix}) = 4 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) = 4 \cdot \vec{n_{E}}

\vec{M S}

ist ein Vielfaches vom Normalenvektor

\vec{n_{E}}

\Rightarrow

\vec{M S} ⊥ E

\Rightarrow

M

ist Höhenfußpunkt des Kegels

Volumen eines Kegels

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Radius

r

des Kegels:

r = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A B} | = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7, 5

Höhe

h

des Kegels:

h = | \vec{M S} | = \sqrt{64 + 16 + 64} = \sqrt{144} = 12

Volumen des Kegels bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen eines Kegels

Das Volumen eines Kegels ist gegeben durch:

V_{K e g e l} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

wobei

G

die Grundfläche ist und

h

die Höhe des Kegels.

V_{Kegel}

=

\frac{1}{3} \cdot r^{2} π \cdot h

=

\frac{1}{3} \cdot (7, 5)^{2} π \cdot 12

\approx

706, 86

(VE)

Prozentualer Unterschied:

\frac{V_{Kegel} - V_{Pyramide}}{V_{Pyramide}}

=

\frac{706, 86 - 216}{216}

\approx

2, 272

\Rightarrow

Das Volumen des Kegels ist um

227, 2 %

größer als das Volumen der Pyramide

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1c

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Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 1f

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Mittelpunkt einer Strecke

Lagebeziehung von Vektoren

Volumen eines Kegels

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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