Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (4 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte

A (1 | 7 | 3)

B (6 | - 7 | 1)

und

C (- 2 | 1 | - 3)

gegeben.

Weisen Sie nach, dass die Punkte

A

B

und

C

ein rechtwinkliges Dreieck festlegen, dessen Hypotenuse die Strecke

[A B]

ist und dessen kürzere Kathete die Länge

9

hat.

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Länge eines Vektors

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Vektoren bestimmen:

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} 6 \\ - 7 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ - 14 \\ - 2 \end{matrix})

\vec{A C} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ - 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 7 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ - 6 \\ - 6 \end{matrix})

\vec{B C} = \vec{C} - \vec{B} = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ - 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ - 7 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8 \\ 8 \\ - 4 \end{matrix})

Länge der Seiten des Dreiecks

A B C

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{A B} | = | (\begin{matrix} 5 \\ - 14 \\ - 2 \end{matrix}) | = \sqrt{25 + 196 + 4} = \sqrt{225} = 15

| \vec{B C} | = | (\begin{matrix} - 8 \\ 8 \\ - 4 \end{matrix}) | = \sqrt{64 + 64 + 16} = \sqrt{144} = 12

| \vec{A C} | = | (\begin{matrix} - 3 \\ - 6 \\ - 6 \end{matrix}) | = \sqrt{9 + 36 + 36} = \sqrt{81} = 9

\Rightarrow

Die kürzere Kathete hat die Länge

9

Nachweis - rechtwinkliges Dreieck

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Nachweis über den Satz des Pythagoras:

Schritt einblenden / ausblenden

Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten

a

und

b

und der Hypotenuse

c

gilt:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Die Umkehrung des Satzes ist auch gültig:

Erfüllen die Längen der Seiten eines Dreiecks die obige Gleichung, so ist das Dreieck rechtwinklig.

15^{2} \overset{!}{=} 12^{2} + 9^{2}

225 = 144 + 81

225 = 225

(wahre Aussage)

\Rightarrow

Die Punkte

A, B

und

C

bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei

C

Alternative Lösung

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Nachweis über das Skalarprodukt:

\vec{A C} \circ \vec{B C} = (\begin{matrix} - 3 \\ - 6 \\ - 6 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 8 \\ 8 \\ - 4 \end{matrix}) = 24 - 48 + 24 = 0

\Rightarrow

\vec{A C} ⊥ \vec{B C}

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Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1f

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Themen dieser Aufgabe:

Länge eines Vektors

Nachweis - rechtwinkliges Dreieck

Alternative Lösung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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