Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Alle Punkte

C^{⋆}

im Raum, die zusammen mit

A

und

B

ein zum Dreieck

A B C

kongruentes Dreieck festlegen, bilden zwei gleich große Kreise.
Beschreiben Sie (z. B. durch eine Skizze) die Lage der beiden Kreise bezüglich der Strecke

[A B]

und ermitteln Sie den Radius der beiden Kreise.

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Lage eines Punktes

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Kongruente Dreiecke

Kongruente Dreiecke sind deckungsgleiche Dreiecke, d.h. sie passen genau aufeinander.

Aus einem gegebenen Dreieck gehen kongruente Dreiecke hervor, wenn man dieses dreht, verschiebt und/oder auch spiegelt.

In dieser Aufgabe stellt man sich vor, dass sich das Dreieck

A B C

um die Seite

[A B]

dreht. Der Punkt

C

bewegt sich somit entlang eines Kreises mit Mittelpunkt auf der Seite

[A B]

. All die Dreiecke, die durch diese Rotation entstehen, sind kongruent zum Dreieck

A B C

.

Ein weiteres kongruentes Dreieck entsteht wenn man das Dreieck

A B C

an der Mittelsenkrechten der Seite

[A B]

spiegelt. Dieses Dreieck kann dann wiederum auch gedreht werden.

Radius eines Kreises bestimmen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Aus Teilaufgabe 1a:

\bar{A B} = 15

\bar{A C} = 9

\bar{B C} = 12

Flächeninhalt des Dreiecks:

A_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot \bar{A C} \cdot \bar{B C} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54

Flächeninhalt des Dreiecks mit der Höhe

h

über die Hypotenuse:

A_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot [A B] \cdot h

54 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h

\Rightarrow

h = \frac{54 \cdot 2}{15} = 7, 2

Der Radius des Kreises ist gleich der Höhe des Dreiecks über die Hypotenuse.

\Rightarrow

r = 7, 2

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

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Teilaufgabe 1f

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Themen dieser Aufgabe:

Lage eines Punktes

Radius eines Kreises bestimmen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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