Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (7 BE)

Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Seitenkante

[B S]

gegen die Ebene

E

sowie das Volumen

V

der Pyramide.

(Teilergebnis: $V = 216$ )

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Winkel zwischen Gerade und Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Gegeben (aus vorherigen Teilaufgaben):

B (6 | - 7 | 1)

S (11, 5 | 4 | - 6)

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

(Normalenvektor der Ebene

E

)

\bar{A C} = 9

\bar{B C} = 12

E : 2 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} - 3 = 0

Gesucht: Neigungswinkel

α

.

Ansatz: Neigungswinkel ist gleich dem Schnittwinkel einer Geraden durch

B

und

S

mit der Ebene

E

Vektor

\vec{B S}

bestimmen:

\vec{B S} = \vec{S} - \vec{B} = (\begin{matrix} 11, 5 \\ 4 \\ - 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ - 7 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5, 5 \\ 11 \\ - 7 \end{matrix})

Länge der Vektoren

\vec{B S}

und

\vec{n_{E}}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{B S} | = | (\begin{matrix} 5, 5 \\ 11 \\ - 7 \end{matrix}) | = \sqrt{30, 25 + 121 + 49} = \sqrt{200, 25}

| \vec{n_{E}} | = | (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) | = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3

Winkel

α

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen Ebene und Gerade

Der Winkel

α

zwischen einer Ebene

E

und einer Geraden

g

entspricht dem von

90^{\circ}

abgezogenen Winkel

β

zwischen dem Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene und dem Richtungsvektor

\vec{v}

der Geraden.

Für den Sinus des Winkels

α

gilt dann:

\sin α = \frac{\vec{v} \circ \vec{n_{E}}}{| \vec{v} | \cdot | \vec{n_{E}} |}

\sin α = \frac{\vec{B S} \circ \vec{n_{E}}}{| \vec{B S} | \cdot | \vec{n_{E}} |}

\sin α = \frac{(\begin{matrix} 5, 5 \\ 11 \\ - 7 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})}{\sqrt{200, 25} \cdot 3}

\sin α = \frac{36}{3 \sqrt{200, 25}}

α = \sin^{- 1} (\frac{36}{3 \sqrt{200, 25}})

\Rightarrow

α \approx 58^{\circ}

Abstand Punkt - Ebene

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Höhe

h

der Pyramide (entspricht dem Abstand der Spitze

S

zur Ebene

E

) bestimmen:

Hesse-Normalenform

E^{H N F}

der Ebene

E

aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Hesse-Normalenform der Ebene

Die Hesse-Normalenform

E^{HNF}

einer Ebene

E

entsteht durch Teilung der Normalenform der Ebene

E

mit dem Betrag des Normalenvektors

| \vec{n_{E}} |

.

Beispiel:

E : x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4 = 0

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

\Rightarrow

| \vec{n_{E}} | = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3

E^{HNF} : \frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4) = 0

E^{H N F} : \frac{1}{3} \cdot (2 x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} - 3) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes

P

in die Hesse-Normalenform

E^{HNF}

der Ebene

E

(zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand

d (P, E)

des Punktes zur Ebene.

Beispiel:

E^{HNF} : \frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4) = 0

P (1 | 3 | - 6)

d (P, E) = | \frac{1}{3} \cdot (1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot (- 6) - 4) | = | - \frac{9}{3} | = 3

h = d (S, E) = \frac{1}{3} \cdot (2 \cdot 11, 5 + 4 - 2 \cdot (- 6) - 3) = 12

Volumen einer Pyramide

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Volumen der Pyramide bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V = \frac{1}{3} \cdot A_{A B C} \cdot h

V = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \bar{A C} \cdot \bar{B C}) \cdot h

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 \cdot 12 = 216

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Abstand Punkt - Ebene

Volumen einer Pyramide

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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