Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4.2 (5 BE)

Bestimmen Sie eine sinnvolle Definitionsmenge

D_{V}

der Funktion

V : a \mapsto V (a)

für den in 4.0 gegebenen Sachzusammenhang.

Lösung zu Teilaufgabe 4.2

Definitionsbereich bestimmen

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Für die Größe

a

gibt es folgende Bedingungen, die alle erfüllt sein müssen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

a

und

h

müssen beide positiv sein, da sie Breite und Höhe eines realen Quaders darstellen.

$a > 0$

$h > 0$

$\frac{2 - a^{2}}{3 a} > 0$

Schritt einblenden / ausblenden

Vorzeichen eines Bruches

Ein Bruch ist positiv wenn Zähler und Nenner entweder beide positiv oder beide negativ sind (z.B.

\frac{3}{5} > 0

oder

\frac{- 3}{- 5} > 0

).

Ein Bruch ist negativ wenn Zähler und Nenner verschiedenes Vorzeichen haben (z.B.

\frac{- 3}{5} < 0

oder

\frac{3}{- 5} < 0

)

a > 0

, kann der Nenner nie kleiner Null werden. Es bleibt also nur der Fall Zähler und Nenner positiv.

Zähler

> 0

und Nenner

> 0

:

Zähler:

2 - a^{2} > 0

2 > a^{2}

Nenner:

3 a > 0

\Rightarrow

a > 0

Veranschaulichung beider Bedingungen am Zahlenstrahl:

Beide Bedingungen müssen erfüllte sein.

\Rightarrow

0 < a < \sqrt{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Da beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen, kann

a

nur Werte zwischen

0

und

\sqrt{2}

annehmen.
Die Ränder sind ausgeschlossen, da für

a = 0

bzw.

h = 0

kein Quader entstehen kann.
Es folgt also für die Definitionsmenge:

D_{V} =] 0; \sqrt{2} [

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