Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.2 (9 BE)

Ermitteln Sie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen der Funktion

f

Lösung zu Teilaufgabe 2.2

Lage von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f (x) = - \frac{1}{8} (x^{4} - 13 x^{3} + 55 x^{2} - 75 x)

(siehe Aufgabe 2.1)

Bilden der ersten Ableitung:

f^{'} (x) = - \frac{1}{8} (4 x^{3} - 39 x^{2} + 110 x - 75)

Erste Ableitung gleich Null setzen.

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für ein Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

f^{'} (x) = 0

- \frac{1}{8} (4 x^{3} - 39 x^{2} + 110 x - 75) = 0

4 x^{3} - 39 x^{2} + 110 x - 75 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Doppelte Nullstelle

Aus Teilaufgabe 1.1 folgt:

x = 5

ist für alle

a \in ℝ

eine doppelte Nullstelle von

f

und somit eine einfache Nullstelle von

f^{'}

x_{1}^{E} = 5

(doppelte Nullstelle (siehe Aufgabe 1.1), also Extremstelle)

Schritt einblenden / ausblenden

Polynomdivision durchführen:

Schritt einblenden / ausblenden

Polynomdivision

Polynome lassen sich in Summenschreibweise oder auch faktorisiert schreiben. Das Polynom

x^{2} + x - 2

beispielsweise lässt sich in Faktoren folgendermaßen schreiben:

x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)

x_{1} = - 2

und

x_{2} = 1

sind dabei die Nullstellen des Polynoms.

Bei einer Polynomdivision ist bereits eine Nullstelle bekannt. Wir haben zum Beispiel durch Rechnung oder durch Ausprobieren herausgefunden, dass

x = 1

eine Nullstelle dieses Polynoms ist. Die zweite noch nicht bekannte Lösung, erhalten wir durch Polynomdivision. In der faktorisierten Schreibweise wird das deutlich:

(x + 2) (x - 1) : (x - 1) = \frac{(x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(x + 2) \cdot 1}{1} = x + 2

Die Nullstellen des Ergebnisses sind dann die restlichen Nullstellen unseres Polynoms, in diesem Fall also

x = - 2

.

Da aber in der Regel nicht alle Faktoren bekannt sind (sonst hätten wir ja auch schon alle Nullstellen) wird die Polynomdivision in der Summenform durchgeführt.

Bestimmen der Nullstellen des Ergebnisses der Polynomdivision:

4 x^{2} - 19 x + 15 = 0

x_{2, 3}^{E} = \frac{- (- 19) \pm \sqrt{(- 19)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 15}}{2 \cdot 4}

x_{2, 3}^{E} = \frac{19 \pm 11}{8}

x_{2}^{E} = 3, 75

;

x_{3}^{E} = 1

f (x_{1}^{E}) = f (5) = 0

\Rightarrow E_{1} (5 | 0)

f (x_{2}^{E}) = f (3, 75) \approx - 0, 55

\Rightarrow E_{2} (3, 75 | - 0, 55)

f (x_{3}^{E}) = f (1) = 4

\Rightarrow E_{2} (1 | 4)

Art von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Bilden der zweiten Ableitung:

f^{''} (x) = - \frac{1}{8} (12 x^{2} - 78 x + 110)

Vorzeichen der zweiten Ableitung an den Stellen

x_{1}^{E}

x_{2}^{E}

und

x_{3}^{E}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Art eines Extremums

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) > 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Tiefpunkt (Minimum)

Ist

f^{'} (x^{E}) = 0

und

f^{''} (x^{E}) < 0

, so hat die Funktion an der Stelle

x^{E}

einen Hochpunkt (Maximum)

f^{''} (x_{1}^{E}) = f^{''} (5) = - 2, 5 < 0 \Rightarrow

relativer Hochpunkt

H O P (5 | 0)

f^{''} (x_{2}^{E}) = f^{''} (3, 75) \approx 1, 72 > 0 \Rightarrow

realtiver Tiefpunkt

T P (3, 75 | - 0, 55)

f^{''} (x_{3}^{E}) = f^{''} (1) = - 5, 5 < 0 \Rightarrow

relativer Hochpunkt

H O P (1 | 4)

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Themen dieser Aufgabe:

Lage von Extrempunkten ermitteln

Art von Extrempunkten ermitteln

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