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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4.1  (4 BE)

Ein Schildkrötenbesitzer baut für seine Landschildkröte ein Terrarium mit einem quaderförmigen lichtdurchlässigen Dach der Länge ${\displaystyle 2\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, der Breite ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und der Höhe ${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$. Dieses wird auf ein geeignetes Fundament gesetzt. Die lichtdurchlässige Oberfläche soll ${\displaystyle 4}$m${}^2$ betragen. Führen Sie die folgenden Rechnungen ohne Einheiten durch.

Bestimmen Sie das Volumen ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ des Daches in Abhängigkeit von ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.
[Mögliches Ergebnis: ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\frac{4}{3}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\frac{2}{3}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$]

 

Lösung zu Teilaufgabe 4.1

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Volumen eines Quaders

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Gegeben: ${\displaystyle \mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=4}$m${\displaystyle {}^2}$
Gesucht: ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

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Volumen eines Quaders

${\displaystyle \mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$: Länge
${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$: Breite
${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$: Höhe

Volumen: Länge x Breite x Höhe
${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Das Volumen des Terrariumdaches ist: ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Schritt einblenden / ausblenden

Während man für ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ einen beliebigen Wert wählen kann, muss die Höhe ${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ so gewählt werden (in Abhängigkeit von ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$), dass die genannte Bedingung für die Oberfläche erfüllt ist.

Da für die lichtdurchlässige Oberfläche ${\displaystyle \mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ (Summe aus allen Seitenflächen und der Decke; der Boden ist nicht lichtdurchlässig und gehört somit nicht zu dieser Rechnung) der feste Wert ${\displaystyle 4}$m${\displaystyle {}^2}$ angesetzt ist, ergibt sich nachfolgende Bedingung für die Höhe.

${\displaystyle \mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=4}$
${\displaystyle \mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2\cdot 2\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\cdot \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=4}$
${\displaystyle 6\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=4}$

Schritt einblenden / ausblenden

Um die Bedingung für ${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ zu erhalten, lösen wir die Gleichung nach ${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ auf.

${\displaystyle 6\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=4-2{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$

${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{4-2{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{6\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{2-{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{3\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Einsetzen in die Volumenformel:

${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=2\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \frac{2-{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{3\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{4}{3}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\frac{2}{3}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$

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