Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 5 (4 BE)

Es wird vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl 4 beim Würfel nicht mehr

\frac{1}{6}

beträgt, sondern höher ist. Um zu entscheiden, ob der Würfel ausgetauscht werden muss, wird er 100-mal geworfen. Der Würfel soll ausgetauscht werden, wenn die Augenzahl 4 dabei mehr als 20-mal erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Laplace-Würfel irrtümlich ausgetauscht wird?

Lösung zu Teilaufgabe 5

Hypothesentest - Fehler erster Art

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Daten aus der Aufgabenstellung analysieren:

Hypothese

H_{1}

p_{1} = \frac{1}{6}

Alternative

H_{2}

p_{2} > \frac{1}{6}

n = 100

Anzahl Würfe

k = 20

Entscheidungsregel:

Schritt einblenden / ausblenden

Fehler 1° Art

Es soll die Wahrscheinlichkeit für ein irrtümliches Austauschen eines Laplace-Würfels berechnet werden .

Das ist der Fall wenn

H_{1}

stimmt, aber man sich im Bereich

H_{2}

befindet, also

Z \geq k + 1

. Da

H_{1}

stimmt, rechnet man mit der Wahrscheinlichkeit

p_{1}

\Rightarrow

Fehler erster Art:

P_{\frac{1}{6}}^{100} (Z \geq 21)

Man spricht vom "Fehler erster Art" , wenn die Hypothese fälschlicherweise abgelehnt wird.

Fehler erster Art:

P_{\frac{1}{6}}^{100} (Z \geq 21)

Schritt einblenden / ausblenden

= 1 - P_{\frac{1}{6}}^{100} (Z \leq 20)

= 1 - 0, 84811

(Wert wird im stoch. Tafelwerk abgelesen)

\approx 15, 2 %

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Laplace-Würfel irrtümlich ausgetauscht wird, ist gleich

15, 2 %

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Teilaufgabe 6b

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Fehler erster Art

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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