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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4  (5 BE)

Erzielt ein Kandidat beim Spiel "Gewinn mit Vier" zweimal die Zahl 4, darf er an die Glückswand. An dieser sind zwölf Felder in zufälliger Anordnung beschriftet, und zwar je drei mit 0 €, 100 €, 500 € bzw. 1000 €. Die folgende Abbildung zeigt eine mögliche Anordnung der Geldbeträge an der Glückswand.



Die Felder sind zunächst verdeckt. Ein Spieler darf vier Felder aufdecken und erhält die Summe der aufgedeckten Geldbeträge. Wie groß ist für einen Kandidaten die Wahrscheinlichkeit, dass er im Rahmen einer Show an die Glückswand darf und dort mindestens 3000 € gewinnt?

 

Lösung zu Teilaufgabe 4

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Wahrscheinlichkeit

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$: "Kandidat kommt an die Glückswand und gewinnt mindestens 3000 Euro"

Wahrscheinlichkeit, dass der Kandidat an die Glückswand kommt (siehe Teilaufgabe 1):

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$(2 mal 4)${\displaystyle =\frac{1}{24}}$


Möglichkeiten mehr als 3000 Euro aufzudecken:

${\displaystyle 3\cdot 1000+1\cdot 0/100/500}$ oder ${\displaystyle 2\cdot 1000+2\cdot 500}$

Schritt einblenden / ausblenden

Wahrscheinlichkeit einer Zufallsgröße

Damit ein Kandidat mehr als 3000 Euro gewinnen kann, muss er erst an die Glückswand kommen. Danach muss einer der oben genannten Fälle eintreten: entweder werden drei 1000 Euro Felder aufdeckt und ein weiteres beliebiges Feld oder zwei 1000 Euro Felder und zwei 500 Euro Felder.

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$(2 mal 4)${\displaystyle \cdot \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$(gewinnt mehr als 3000 Euro)

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$(gewinnt mehr als 3000 Euro) ${\displaystyle =\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$(3 mal 1000 Euro Feld und 1 mal beliebiges Feld) ${\displaystyle +\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$(2 mal 1000 Euro Feld und 2 mal 500 Euro Feld)



Anzahl der Möglichkeiten drei 1000 Euro Felder aus drei vorhandenen zu wählen: ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)}$.

Anzahl der Möglichkeiten ein beliebiges Feld aus 9 übrigen Felder zu wählen: ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{1}\right)}$.

Anzahl der Möglichkeiten 4 Felder aus 12 zu wählen: ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{4}\right)}$.

${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$(3 mal 1000 Euro Feld und 1 mal beliebiges Feld) ${\displaystyle =\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{4}\right)}}$



Anzahl der Möglichkeiten zwei 1000 Euro Felder aus 3 vorhandenen zu wählen: ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)}$.

Anzahl der Möglichkeiten zwei 500 Euro Felder aus 3 vorhandenen Felder zu wählen: ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)}$.

Anzahl der Möglichkeiten 4 Felder aus 12 zu wählen: ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{4}\right)}$.

${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$(2 mal 1000 Euro Feld und 2 mal 500 Euro Feld) ${\displaystyle =\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{4}\right)}}$

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$:

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\frac{1}{24}\cdot \frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{4}\right)}\approx 0,15\%}$

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