Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4a (4 BE)

An einem Gymnasium werden die 38 Interessenten am Grundkurs Physik, von denen 12 regelmäßig rauchen, auf 2 Kurse mit 18 beziehungsweise 20 Teilnehmern zufällig verteilt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in jedem der beiden Kurse gleich viele Raucher?

Lösung zu Teilaufgabe 4a

Wahrscheinlichkeit

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Erläuterung

Es gibt

(\binom{12}{6})

Möglichkeiten 6 von 12 Raucher in den Kurs 1 zu verteilen. Die restlichen 18-6 = 12 Schüler des Kurses 1 werden aus den 26 Nichtraucher gewählt, sprich

(\binom{26}{12})

.

Insgesamt gibt es

(\binom{38}{18})

Möglichkeiten 18 Schüler aus 36 in den Kurs 1 zu verteilen.

Ist der Kurs 1 belegt so bleiben 6 von 6 Raucher und 14 von 14 Nichtraucher aus 20 von 20 übrigen Schüler für den Kurs 2.

Bemerkung: es ist klar, dass die Wahrscheinlichkeit 6 Raucher im Kurs 2 zu finden, wenn schon 6 Raucher im Kurs 1 sind, gleich 1 ist. Der letzte Teil der Rechnung hätte man somit vernachlässigen können.

P (A) = \underset{K u r s 1}{\underset{︸}{\frac{(\binom{12}{6}) \cdot (\binom{26}{12})}{(\binom{38}{18})}}} \cdot \underset{K u r s 2}{\underset{︸}{\frac{(\binom{6}{6}) \cdot (\binom{14}{14})}{(\binom{20}{20})}}} = 26, 6 %

oder

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Erläuterung

Es gibt

(\binom{12}{6})

Möglichkeiten 6 von 12 Raucher in den Kurs 2 zu verteilen. Die restlichen 20-6 = 14 Schüler des Kurses 2 werden aus den 26 Nichtraucher gewählt, sprich

(\binom{26}{14})

.

Insgesamt gibt es

(\binom{38}{20})

Möglichkeiten 20 Schüler aus 36 in den Kurs 2 zu verteilen.

Ist der Kurs 2 belegt so bleiben 6 von 6 Raucher und 12 von 12 Nichtraucher aus 18 von 18 übrigen Schüler für den Kurs 1.

Bemerkung: es ist klar, dass die Wahrscheinlichkeit 6 Raucher im Kurs 1 zu finden, wenn schon 6 Raucher im Kurs 2 sind, gleich 1 ist. Der letzte Teil der Rechnung hätte man somit vernachlässigen können.

P (A) = \underset{K u r s 2}{\underset{︸}{\frac{(\binom{12}{6}) \cdot (\binom{26}{14})}{(\binom{38}{20})}}} \cdot \underset{K u r s 1}{\underset{︸}{\frac{(\binom{6}{6}) \cdot (\binom{12}{12})}{(\binom{18}{18})}}} = 26, 6 %

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