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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3b (5 BE)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit besuchen 2 aus der Sekundarstufe I zufällig ausgewählte Personen die gleiche Schulart und mindestens eine der beiden Personen raucht regelmäßig?

Lösung zu Teilaufgabe 3b

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Binomialverteilung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

$n = 2$

1.Möglichkeit: Treffer: "Hauptschüler ist Raucher"

$p = P (Treffer) = P_{H S} (R) = 0, 24$ (s. Teilaufgabe 3a)

Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer von 2 Schülern aus der Hauptschule Raucher ist:

$P_{0, 24}^{2} (Z \geq 1) = 1 - P_{0, 24}^{2} (Z = 0)$

Schritt einblenden / ausblenden

$= 1 - (\binom{2}{0}) \cdot 0, 24^{0} \cdot 0, 76^{2}$

$= 1 - 0, 76^{2}$

Ereignis $B_{1}$ : "2 mal Hauptschüler, davon mindestens ein Raucher"

$P (H S) = 0, 35$ (s. Einleitung Aufgabe 3)

$\Rightarrow P (B_{1}) = P (H S) \cdot P (H S) \cdot P_{0, 24}^{2} (Z \geq 1)$

$= 0, 35 \cdot 0, 35 \cdot (1 - 0, 76^{2})$

$= 0, 0517$

2.Möglichkeit: Treffer: "Gymnasiast ist Raucher"

$p = P (Treffer) = P_{G y m} (R) = 0, 07$ (s. Teilaufgabe 3a)

Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer von 2 Schülern aus dem Gymnasium Raucher ist:

$P_{0, 07}^{2} (Z \geq 1) = 1 - P_{0, 07}^{2} (Z = 0)$

Schritt einblenden / ausblenden

$= 1 - (\binom{2}{0}) \cdot 0, 07^{0} \cdot 0, 93^{2}$

$= 1 - 0, 93^{2}$

Ereignis $B_{2}$ : "2 mal Gymnasiast, davon mindestens ein Raucher"

$P (G y m) = 0, 35$ (s. Einleitung Aufgabe 3)

$\Rightarrow P (B_{2}) = P (G y m) \cdot P (G y m) \cdot P_{0, 07}^{2} (Z \geq 1)$

$= 0, 35 \cdot 0, 35 \cdot (1 - 0, 93^{2})$

$= 0, 0165$

3.Möglichkeit: Treffer: "Realschüler ist Raucher"

$p = P (Treffer) = P_{R S} (R) = 0, 17$ (s. Teilaufgabe 3a)

Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer von 2 Schülern aus der Realschule Raucher ist:

$P_{0, 17}^{2} (Z \geq 1) = 1 - P_{0, 17}^{2} (Z = 0)$

Schritt einblenden / ausblenden

$= 1 - (\binom{2}{0}) \cdot 0, 17^{0} \cdot 0, 83^{2}$

$= 1 - 0, 83^{2}$

Ereignis $B_{3}$ : "2 mal Realschüler, davon mindestens ein Raucher"

$P (R S) = 0, 30$ (s. Einleitung Aufgabe 3)

$\Rightarrow P (B_{3}) = P (R S) \cdot P (R S) \cdot P_{0, 17}^{2} (Z \geq 1)$

$= 0, 30 \cdot 0, 30 \cdot (1 - 0, 83^{2})$

$= 0, 0280$

Ereignis $B$ : "2 Schüler aus derselben Schulart, davon mindestens ein Raucher"

$P (B) = P (B_{1}) + P (B_{2}) + P (B_{3})$

$= 0, 0517 + 0, 0165 + 0, 0280$

$= 0, 0962$

$\Rightarrow$ Die Wahrscheinlichkeit, dass 2 zufällig ausgewählte Personen die gleiche Schulart besuchen und mindestens einer der beiden Raucher ist, ist gleich $9, 6 %$

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