Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2 (6 BE)

Im Jahr 2005 waren

20 %

der 12- bis 17-jährigen Jugendlichen Raucher. Es wird vermutet, dass durch diverse Kampagnen diese Raucherquote auf

18 %

gesenkt werden konnte. Um diese Vermutung zu testen, werden 500 Jugendliche dieser Altersgruppe anonym befragt. Die Nullhypothese "Mindestens

20 %

der Jugendlichen sind Raucher" wird abgelehnt, wenn weniger als

19 %

der Befragten regelmäßig rauchen. Berechnen Sie unter der Annahme, dass die Kampagnen so erfolgreich waren wie vermutet, die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. Verwenden Sie die Normalverteilung als Näherung.

Lösung zu Teilaufgabe 2

Hypothesentest - Fehler zweiter Art

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

n = 500

Schritt einblenden / ausblenden

Nullhypothese

Die Nullhypothese lautet: "Mindestens

20 %

der Jugendlichen sind Raucher".

\Rightarrow

Nullhypothese

H_{0} : p_{0} \geq 0, 20

Alternative Vermutung: "Raucherquote ist nach den Kampagnen auf

18 %

gesunken"

\Rightarrow

Alternative

H_{1} : p_{1} = 0, 18

Die Nullhypothese wird abgelehnt wenn weniger als

19 %

der Befragten regelmäßig rauchen.

\Rightarrow k + 1 = 0, 19 \cdot 500 = 95

p_{0} \geq 0, 20

p_{1} = 0, 18

19 %

von

500 = 0, 19 \cdot 500 = 95

Entscheidungsregel:

Fehler 2.Art:

Schritt einblenden / ausblenden

Fehler zweiter Art

Man spricht von Fehler 2.Art wenn die Nullhypothese beibehalten wird, obwohl die Alternativhypothese stimmt.

Das ist also der Fall wenn

H_{1}

stimmt, aber man sich im Bereich

H_{0}

befindet, also

Z \geq 95

. Da

H_{1}

stimmt, rechnet man mit der Wahrscheinlichkeit

p_{1}

P_{0, 18}^{500} (Z \geq 95) =

= 1 - P_{0, 18}^{500} (Z \leq 94)

Schritt einblenden / ausblenden

Normalverteilung

Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung:

P_{p}^{n} (Z \leq k) = Φ (\frac{k + 0, 5 - μ}{σ}) = Φ (\frac{k + 0, 5 - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}})

Dabei ist:

μ = n \cdot p

der Erwartungswert

σ = \sqrt{n \cdot p \cdot q}

die Standardabweichung

0, 5

die Stetigkeitskorrektur

= 1 - Φ (\frac{94 + 0, 5 - 500 \cdot 0, 18}{\sqrt{500 \cdot 0, 18 \cdot 0, 82}})

= 1 - Φ (\frac{4, 5}{\sqrt{73, 8}})

= 1 - Φ (0, 52)

= 1 - 0, 69847

(Wert wird im stoch. Tafelwerk abgelesen)

= 30, 2 %

\Rightarrow

Mit einer Wahrscheinlichkeit von

30, 2 %

wird die Nullhypothese beibehalten.

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Teilaufgabe 4b

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Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Fehler zweiter Art

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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