Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3a (6 BE)

Im Folgenden werden ausschließlich Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe I, die die Jahrgangsstufen 5-10 umfasst, betrachtet. Von diesen besuchen in Bayern jeweils

35 %

eine Hauptschule beziehungsweise ein Gymnasium. Vereinfachend werde angenommen, dass die Übrigen eine Realschule besuchen.
Es soll angenommen werden, dass die folgenden Raucherquoten aus dem Bericht der Bundesregierung auch für Bayern gelten: In der Sekundarstufe I sind insgesamt

16 %

Raucher; an Hauptschulen ist die Quote der Raucher mit

24 %

mehr als dreimal so hoch wie an Gymnasien mit

7 %

Wie groß ist die Raucherquote an Realschulen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit
besucht ein aus der Sekundarstufe I zufällig ausgewähl-ter Raucher ein Gymnasium?
[Teilergebnis: Raucherquote an Realschulen:

17 %

]

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Ereignisse:

H S

: "Schüler besucht die Hauptschule"

G y m

: "Schüler besucht das Gymnasium"

R S

: "Schüler besucht die Realschule"

R

: "Schüler ist Raucher"

\bar{R}

: "Schüler ist Nichtraucher"

Wahrscheinlichkeiten (aus der Einleitung):

P (H S) = P (G y m) = 35 % = 0, 35

P (R S) = 1 - [P (H S) + P (G y m)] = 1 - 0, 70 = 0, 30

P (R) = 16 % = 0, 16

P_{H S} (R) = 24 % = 0, 24

P_{G y m} (R) = 7 % = 0, 07

P_{R S} (R) = x

(unbekannt)

Baudiagramm erstellen:

Schnittwahrscheinlichkeiten bestimmen (1.Pfadregel):

P (H S \cap R) = P (H S) \cdot P_{H S} (R) = 0, 35 \cdot 0, 24 = 0, 084

P (G y m \cap R) = P (G y m) \cdot P_{G y m} (R) = 0, 35 \cdot 0, 07 = 0, 0245

P (R S \cap R) = P (R S) \cdot P_{R S} (R) = 0, 30 \cdot x

P (R)

bestimmen und nach

x

auflösen (2.Pfadregel):

0, 16 = P (R) = P (H S \cap R) + P (G y m \cap R) + P (R S \cap R)

= 0, 084 + 0, 0245 + 0, 30 \cdot x

\Rightarrow x = 0, 172 = P_{R S} (R)

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Realschüler ein Raucher ist, ist gleich

17, 2 %

P_{R} (G y m)

bestimmen:

P_{R} (G y m) =

Schritt einblenden / ausblenden

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Bezeichnung

P_{R} (B)

bedeutet:

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

B

unter der Bedingung, dass das Ereignis

R

bereits eingetreten ist.
Diese Wahrscheinlichkeit heißt bedingte Wahrscheinlichkeit.

Nach der Bayes'sche Regel, gilt:

P_{R} (B) = \frac{P (B \cap R)}{P (R)}

= \frac{P (G y m \cap R)}{P (R)} = \frac{0, 0245}{0, 16} = 0, 153

= 15, 3 %

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Raucher das Gymnasium besucht, ist gleich

15, 3 %

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Teilaufgabe 4b

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Themen dieser Aufgabe:

Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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