Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (5 BE)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ausgewählten Haushalten mindestens zwei einen schnellen Internetzugang besitzen?

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Wahrscheinlichkeit

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I

: "Haushalt mit Internetanschluss"

I_{s}

: "schnelle Leitung"

I_{m}

: "mittlere Leitung"

I_{l}

: "langsame Leitung"

\bar{I}

: "Haushalt ohne Internetanschluss"

Aus dem Text der Angabe:

P (I) = 0, 6

P (\bar{I}) = 0, 4

P (I_{s}) = 0, 22

P (I_{m}) = 0, 35

P (I_{l}) = 0, 43

Aus diesen Daten kann folgendes Baumdiagramm erstellt werden:

\Rightarrow P (I \cap I_{s}) = 0, 6 \cdot 0, 22 = 0, 132

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Haushalt einen schnellen Internetzugang besitzt, ist gleich

13, 2 %

Binomialverteilung

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Aus dem Text der Angabe und der vorherigen Rechnung:

n = 25

p = 0, 132

z \geq 2

Schritt einblenden / ausblenden

Binomialverteilung für n Versuche

Es handelt sich hier um eine Binomialverteilung: entweder hat ein Haushalt einen schnellen Internetanschluss oder nicht.

Die Wahrscheinlichkeit eines Treffers (Haushalt hat einen schnellen Internetanschluss) ist gleich

p = 0, 132

P_{0, 132}^{25} (z \geq 2) =

Schritt einblenden / ausblenden

= 1 - P_{0, 132}^{25} (z \leq 1)

= 1 - [P_{0, 132}^{25} (z = 0) + P_{0, 132}^{25} (z = 1)]

Schritt einblenden / ausblenden

Binomialverteilung für n Versuche

Allgemein gilt:

B (n; p; k) = P_{p}^{n} (z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

n = Anzahl der Versuche
k = Anzahl der Treffer
p = Wahrscheinlichkeit eines Treffers
1-p = Wahrscheinlichkeit einer Niete

= 1 - [\underset{= 1}{\underset{︸}{(\binom{25}{0}) \cdot 0, 132^{0}}} \cdot 0, 868^{25} + (\binom{25}{1}) \cdot 0, 132^{1} \cdot 0, 868^{24}]

= 1 - [0, 868^{25} + 25 \cdot 0, 132 \cdot 0, 868^{24}]

\approx 86, 1 %

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 Haushalte einen schnellen Internetzugang besitzen, ist gleich

86, 1 %

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Teilaufgabe 5a

Teilaufgabe 5b

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Themen dieser Aufgabe:

Wahrscheinlichkeit

Binomialverteilung

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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