Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3b (5 BE)

Zeigen Sie, dass

p

keine Nullstelle besitzt. Berechnen Sie den Inhalt

A

der Fläche, die von den Koordinatenachsen, dem Graphen von

p

und der Geraden

x = 1

eingeschlossen wird, auf 4 Dezimalen gerundet.

[Zur Kontrolle:

A \approx 2, 3332

]

Lösung zu Teilaufgabe 3b

Nullstellen einer Funktion

p (x) = e \cdot (\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + 1)

p (x) = 0

setzen:

e \cdot (\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + 1) = 0 | \cdot \frac{8}{e}

\Rightarrow x^{4} - 4 x^{2} + 8 = 0 |

Mitternachtsformel für biquadratische Gleichung

\Rightarrow x_{1, 2}^{2} = \frac{4 \pm \sqrt{\underset{< 0}{\underset{︸}{16 - 32}}}}{2} \Rightarrow

keine Lösung

\Rightarrow p

besitzt keine Nullstellen.

Flächenberechnung

A = \int_{0}^{1} p (x) d x

= \int_{0}^{1} e \cdot (\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + 1) d x

= e \cdot \int_{0}^{1} (\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + 1) d x

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktion von f dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) ⅆ x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Für ein Polynom

n

-ten Grades gilt:

\int c \cdot x^{n} d x = c \cdot \frac{1}{n + 1} \cdot x^{n + 1}

= e \cdot {[\frac{1}{40} x^{5} - \frac{1}{6} x^{3} + x]}_{0}^{1}

= e \cdot [(\frac{1}{40} - \frac{1}{6} + 1) - 0]

= e \cdot \frac{103}{120} \approx 2, 3332

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Teilaufgabe 3c

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Themen dieser Aufgabe:

Nullstellen einer Funktion

Flächenberechnung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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