Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (4 BE)

Gegeben ist die Funktion

f : x \to e^{1 - 0, 5 x^{2}}

mit Definitionsbereich

D_{f} = ℝ

.
Die Abbildung zeigt den Graphen

G_{f}

von

f

Untersuchen Sie

G_{f}

rechnerisch auf Symmetrie und Schnittpunkte mit den Achsen. Bestimmen Sie das Verhalten von

f

für

x \to + \infty

und

x \to - \infty

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Symmetrieverhalten einer Funktion

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f (x) = e^{1 - 0, 5 x^{2}}, D_{f} = ℝ

Schritt einblenden / ausblenden

Symmetrieverhalten

Es ist zu testen, ob für die Funktion

f (x) = f (- x)

gilt.

G_{f}

wäre dann symmetrisch zur y-Achse.
Falls

f (- x) = - f (x)

, wäre

G_{f}

symmetrisch zum Ursprung.
Man ermittelt also zunächst

f (- x)

und vergleicht dann.

f (- x) = e^{1 - 0, 5 (- x)^{2}} = e^{1 - 0, 5 x^{2}} = f (x)

\Rightarrow G_{f}

ist symmetrisch zur

y

-Achse.

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

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f (x = 0) = e^{1 - 0, 5 \cdot 0^{2}} = e^{1} = e

\Rightarrow G_{f}

schneidet die

y

-Achse in

e

f (x) > 0

für alle

x \in D_{f}

\Rightarrow G_{f}

schneidet nicht die

x

-Achse.

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to + \infty} e^{1 - 0, 5 x^{2}} =

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Exponent der Funktion

f (x)

, sprich die Funktion

1 - 0, 5 x^{2}

, geht für

x \to + \infty

nach

- \infty

.

Für

x \to - \infty

geht die Exponentialfunktion nach

0

= 0

Wegen der Symmetrie-Eigenschaft von

G_{f}

, gilt:

lim_{x \to + \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} f (x) = 0

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Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Symmetrieverhalten einer Funktion

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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