Abitur 2008 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Funktion

f : x \to e^{1 - 0, 5 x^{2}}

mit Definitionsbereich

D_{f} = ℝ

.
Die Abbildung zeigt den Graphen

G_{f}

von

f

Teilaufgabe 1a (4 BE)

Untersuchen Sie

G_{f}

rechnerisch auf Symmetrie und Schnittpunkte mit den Achsen. Bestimmen Sie das Verhalten von

f

für

x \to + \infty

und

x \to - \infty

Teilaufgabe 1b (6 BE)

Zeigen Sie, dass gilt:

f^{''} (x) = (x^{2} - 1)^{\cdot} e^{1 - 0, 5 x^{2}}

.
Bestimmen Sie durch Rechnung das Monotonieverhalten von

f

und die Koordinaten der Wendepunkte.

Die Integralfunktion

F

ist definiert durch

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t, x \in ℝ

Teilaufgabe 2a (8 BE)

Untersuchen Sie das Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von

F

. Bestimmen Sie aus der Abbildung mit Hilfe des Gitternetzes Näherungswerte für

F (\frac{1}{2}), F (1), F (2)

und

F (4)

. Tragen Sie den Graphen von

F

im Bereich

x \in [- 4; 4]

in die gegebene Abbildung ein.

Teilaufgabe 2b (5 BE)

Für

x > 1

gilt offensichtlich

x e^{1 - 0, 5 x^{2}} > e^{1 - 0, 5 x^{2}}

. Zeigen Sie damit, dass

\int_{4}^{\infty} f (x) d x < 10^{- 3}

ist.
Was folgt für die Funktionswerte von

F

für

x \geq 4

Die Funktion

f

soll im Folgenden in einer Umgebung von

x = 0

durch eine Polynomfunktion

p

mit dem Term

p (x) = a x^{4} + b x^{2} + c, a, b, c \in ℝ

, angenähert werden.

Teilaufgabe 3a (6 BE)

Bestimmen Sie die Koeffizienten

a, b

und

c

so, dass

f

und

p

an der Stelle

x = 0

im Funktionswert und in den Werten der 1. bis einschließlich 4. Ableitung übereinstimmen.
Ohne Nachweis darf verwendet werden:

f^{'''} (0) = 0, f^{''''} (0) = 3 e

[Zur Kontrolle:

p (x) = e \cdot (\frac{1}{8} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + 1)

]

Teilaufgabe 3b (5 BE)

Zeigen Sie, dass

p

keine Nullstelle besitzt. Berechnen Sie den Inhalt

A

der Fläche, die von den Koordinatenachsen, dem Graphen von

p

und der Geraden

x = 1

eingeschlossen wird, auf 4 Dezimalen gerundet.

[Zur Kontrolle:

A \approx 2, 3332

]

Teilaufgabe 3c (6 BE)

Bestimmen Sie nun den Wert des Integrals

\int_{0}^{1} f (x) d x

mit Hilfe der Gauß'schen

ϕ

-Funktion (

ϕ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- 0, 5 x^{2}}

) und dem stochastischen Tafelwerk. Um wie viel Prozent weicht der Näherungswert aus Teilaufgabe 3b von diesem Ergebnis ab?

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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