über 250 kostenlose
Abituraufgaben
Lösung als Video
und ausformuliert
Alle Lösungen von
erfahrenen Lehrern

Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 2a  (8 BE)
Die Integralfunktion F ist definiert durch F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t , x ∈ ℝ .
Untersuchen Sie das Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von F . Bestimmen Sie aus der Abbildung mit Hilfe des Gitternetzes Näherungswerte für F ( 1 2 ) , F ( 1 ) , F ( 2 ) und F ( 4 ) . Tragen Sie den Graphen von F im Bereich x ∈ [ - 4 ; 4 ] in die gegebene Abbildung ein.
 
Lösung zu Teilaufgabe 2a
Symmetrieverhalten der Integralfunktion



F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t , x ∈ ℝ

Der Graph G f der Funktion f verläuft symmetrisch zur y -Achse (s. Teilaufgabe 1a).
Der Integrationsanfang befindet sich bei x = 0 . Deswegen enstehen beim Integrieren für x und - x betragsmäßig gleiche Flächen: F ( x ) ist positiv und F ( - x ) ist gleich groß negativ.

⇒ F ( - x ) = - F ( x )

⇒ G f ist symmetrisch zum Ursprung.
Monotonieverhalten der Integralfunktion



F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t , x ∈ ℝ
Schritt einblenden / ausblenden
Es gilt: F ′ ( x ) = f ( x )

Die Funktion f ist für alle x aus ℝ positiv:

f ( x ) > 0 für alle x ∈ ℝ

Also gilt das auch für F ′ ( x ) :

⇒ F ′ ( x ) > 0 für alle x ∈ ℝ

Da F ( x ) stetig ist folgt daraus, dass F ( x ) streng monoton wachsend ist.
Krümmungsverhalten der Integralfunktion



Aus F ′ ( x ) = f ( x ) folgt:

F ′ ′ ( x ) = f ′ ( x ) = - x ⋅ e 1 - 0 , 5 x 2

Aus Aufgabenteil 1b weiß man, dass:

f ′ ( x ) > 0 für x < 0

und

f ′ ( x ) < 0 für x > 0

Für die Integralfunktion F folgt daraus:

F ′ ′ ( x ) > 0 für x < 0 ⇒ F ist konkav für x < 0

und

F ′ ′ ( x ) < 0 für x > 0 ⇒ F ist konvex für x > 0
Funktionswerte der Integralfunktion angeben



Ablesen der Werte mit Hilfe des Gitternetzes ergibt:
Schritt einblenden / ausblenden
1 , 2 ≤ F ( 1 2 ) ≤ 1 , 4

2 , 2 ≤ F ( 1 ) ≤ 2 , 4

3 , 1 ≤ F ( 2 ) ≤ 3 , 4

3 , 2 ≤ F ( 4 ) ≤ 3 , 6
Skizze



Alle Abituraufgaben
Lösungen zu:
Teilaufgabe 1a
Teilaufgabe 1b
Teilaufgabe 2a
Teilaufgabe 2b
Teilaufgabe 3a
Teilaufgabe 3b
Teilaufgabe 3c
Lösung als Video:
Lösung als Video
Themen dieser Aufgabe:
Symmetrieverhalten der Integralfunktion
Monotonieverhalten der Integralfunktion
Krümmungsverhalten der Integralfunktion
Funktionswerte der Integralfunktion angeben
Skizze
Themen-Übersicht
Themen
Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!