Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (7 BE)

Zeigen Sie, dass für alle

u > 1,

gilt:

\int_{\frac{1}{u}}^{u} f (x) d x = 0

. Interpretieren Sie das Ergebnis der Integration am Graphen von

f

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Bestimmtes Integral

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f (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x}, D_{f} = ℝ ∖ {0}

\int_{\frac{1}{u}}^{u} f (x) d x = \int_{\frac{1}{u}}^{u} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x

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Erläuterung

Es gilt:

\ln x^{n} = n \cdot \ln x

für

x > 0

u > 1

ist, sind die Integrationsgrenzen positiv (

\frac{1}{u} > 0

) und somit auch der Bereich in der die Funktion betrachtet werden kann.

\Rightarrow f (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x} = 2 \cdot \frac{\ln x}{x}

= \int_{\frac{1}{u}}^{u} 2 \cdot \frac{\ln x}{x} d x

= 2 \cdot \int_{\frac{1}{u}}^{u} \frac{\ln x}{x} d x

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Partielle Integration

Regel für die partielle Integration:

\int_{a}^{b} f (x) \cdot g^{'} (x) d x = [f (x) \cdot g (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (x) \cdot g (x) d x

In diesem Fall ist:

f (x) = \ln x \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{1}{x}

g^{'} (x) = \frac{1}{x} \Rightarrow g (x) = \ln x

= 2 \cdot {{[\ln x \cdot \ln x]}_{\frac{1}{u}}^{u} - \int_{\frac{1}{u}}^{u} \frac{1}{x} \cdot \ln x d x}

= 2 \cdot {[(\ln x)^{2}]}_{\frac{1}{u}}^{u} - \underset{= \int_{\frac{1}{u}}^{u} f (x) d x}{\underset{︸}{2 \cdot \int_{\frac{1}{u}}^{u} \frac{\ln x}{x} d x}}

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\Rightarrow 2 \cdot \int_{\frac{1}{u}}^{u} f (x) d x = 2 \cdot {[(\ln x)^{2}]}_{\frac{1}{u}}^{u} | \cdot \frac{1}{2}

\Rightarrow \int_{\frac{1}{u}}^{u} f (x) d x = {[(\ln x)^{2}]}_{\frac{1}{u}}^{u}

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Hier ist:

f (x) = 2 \cdot \frac{\ln x}{x}

die Funktion

F (x) = (\ln x)^{2}

eine Stammfunktion von

f

= [(\ln u)^{2}] - [{(\ln \frac{1}{u})}^{2}]

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Logarithmus

Für den Logarithmus gilt:

\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b

= (\ln u)^{2} - [{(\underset{= 0}{\underset{︸}{\ln 1}} - \ln u)}^{2}]

= (\ln u)^{2} - (\ln u)^{2}

= 0

Interpretation:

Die Fläche die der Graph

G_{f}

mit der

x

-Achse einschließt von

\frac{1}{u}

bis 1 (rot), ist gleich groß wie die Fläche die der Graph

G_{f}

mit der

x

-Achse von 1 bis

u

(gelb) einschließt. Ihre Summe hebt sich auf ( ist gleich Null) im Integrationskalkül, weil die rote Fläche unterhalb der

x

-Achse liegt und somit einen negativen Wert zugewiesen bekommt.

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Themen dieser Aufgabe:

Bestimmtes Integral

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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