Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (7 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte von

G_{f}

mit waagrechter Tangente und skizzieren Sie

G_{f}

unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem.

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Lage von Extrempunkten ermitteln

f (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x}, D_{f} = ℝ ∖ {0}

Wegen der Punktsymmetrie (siehe Teilaufgabe 1a) genügt es die Funktion für

x > 0

zu untersuchen.

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmus

Logarithmusregel:

\ln a^{b} = b \cdot \ln a

Hier gilt also für die Funktion f:

f (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x} = \frac{2 \ln x}{x}

für

x > 0

Erste Ableitung bilden:

f^{'} (x) = {(2 \cdot \frac{\ln x}{x})}^{'}

Schritt einblenden / ausblenden

Quotientenregel der Differenzialrechnung

f (x) = \frac{g (x)}{h (x)} \Rightarrow f^{'} (x) = {(\frac{g (x)}{h (x)})}^{'} = \frac{g^{'} (x) \cdot h (x) - g (x) \cdot h^{'} (x)}{h^{2} (x)}

In diesem Fall ist:

g (x) = 2 \cdot l n x

h (x) = x

= 2 \cdot \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^{2}}

= 2 \cdot \frac{1 - \ln x}{x^{2}}

Erste Ableitung Null setzen und die Gleichung nach x auflösen:

f^{'} (x) = 0

2 \cdot \frac{1 - \ln x}{x^{2}} = 0

\Rightarrow 1 - \ln x = 0

\Rightarrow \ln x = 1 |

potenzieren

\Rightarrow e^{\ln x} = e^{1}

\Rightarrow x^{E} = e

\Rightarrow y^{E} = f (x^{E}) = f (e) = \frac{\ln e^{2}}{e} = \frac{2}{e}

\Rightarrow

Der Graph

G_{f}

hat im Punkt

(e | \frac{2}{e})

eine waagerechte Tangente.

Wege der Punktsymmetrie (siehe Teilaufgabe 1a) folgt, dass der Graph

G_{f}

auch im Punkt

(- e | - \frac{2}{e})

eine waagerechte Tangente hat.

Skizze

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe 2d

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Themen dieser Aufgabe:

Lage von Extrempunkten ermitteln

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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