Abitur 2008 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

Gegeben ist die Funktion

f : x \to \frac{\ln (x^{2})}{x}, D_{f} = ℝ ∖ {0}

. Der Graph von

f

wird mit

G_{f}

bezeichnet.

Teilaufgabe 1a (6 BE)

Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von

G_{f}

. Bestimmen Sie die Nullstellen von

f

und das Verhalten von

f

an den Rändern des Definitionsbereichs.

Teilaufgabe 1b (7 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte von

G_{f}

mit waagrechter Tangente und skizzieren Sie

G_{f}

unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem.

Teilaufgabe 1c (7 BE)

Zeigen Sie, dass für alle

u > 1,

gilt:

\int_{\frac{1}{u}}^{u} f (x) d x = 0

. Interpretieren Sie das Ergebnis der Integration am Graphen von

f

Betrachtet wird die Funktion

K

mit dem Term

K (v) = \frac{v}{\frac{v^{2}}{2 a} + t v + s}

, und den positiven Parametern

a

t

und

s

K

beschreibt in einem idealisierten Modell die sogenannte Kapazität einspuriger Straßen, das ist die Anzahl der Fahrzeuge, die bei genauer Einhaltung des Sicherheitsabstandes pro Zeiteinheit eine bestimmte Stelle passieren können. In diesem Modell wird vereinfachend angenommen, dass alle Fahrzeuge mit der gleichen Geschwindigkeit

v

fahren und außerdem die Parameter

a

(Bremsverzögerung),

t

(Reaktionszeit des Fahrers) und

s

(Fahrzeuglänge) für alle Fahrzeuge der Kolonne gleich sind.

Teilaufgabe 2a (3 BE)

Bestimmen Sie die Grenzwerte von

K (v)

für

v \to 0

und

v \to \infty

Teilaufgabe 2b (8 BE)

Zeigen Sie, dass

K (v)

für

v = v_{m a x} = \sqrt{2 a s}

maximal wird.
Berechnen Sie

v_{m a x}

\frac{k m}{h}

für

a = 4, 0 \frac{m}{s^{2}}

(regennasse Fahrbahn) und

s = 4, 5 m

Teilaufgabe 2c (4 BE)

Begründen Sie am Term

K (v)

, dass die Kapazität bei zunehmender Fahrzeuglänge

s

abnimmt, wenn

v

a

und

t

konstant bleiben.
Begründen Sie ebenfalls am Term, dass die Kapazität zunimmt, wenn die Bremsverzögerung

a

zunimmt und

v

t

und

s

konstant bleiben. Erläutern Sie letztere Aussage im Anwendungszusammenhang.

Teilaufgabe 2d (5 BE)

Die drei Diagramme (I), (II) und (III) zeigen den Verlauf von Schargraphen der Funktion

K

. In jedem dieser Diagramme variiert genau einer der Parameter

a

t

und

s

, während die anderen beiden Parameter konstant bleiben. Geben Sie für jedes der drei Diagramme an, welcher der Parameter variiert. Begründen Sie Ihre Antwort, z. B. mit Hilfe der Ergebnisse der Teilaufgaben 2b und 2c.