Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b (5 BE)

Die Kugel liegt so in der Öffnung

Q P Q^{'} R

, dass sie alle 4 Seiten dieser Raute berührt. Berechnen Sie den Abstand des Kugelmittelpunkts von der Gitterebene

E

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Lagebeziehung Ebene und Kugel

Seien

B_{1}, B_{2}

Berührungspunkte von der Kugel mit zwei parallelen Rauteseiten und

M

der Mittelpunkt der Kugel.

Der Abstand zwischen

B_{1}

und

B_{2}

ist gleich dem Abstand zwischen den parallelen Rauteseiten, also gilt:

\bar{B_{1} B_{2}} = h \Rightarrow \bar{F B_{1}} = \frac{h}{2}

Die folgende Grafik zeigt ein rechtwinkliges Dreieck, es stellt die Beziehung zwischen Kugelmittelpunkt

M

, dem Berührungspunkt

B_{1}

und dem Punkt

F

. Gesucht ist der Abstand des Kugelmittelpunktes zur Gitterebene

E

, also

d = \bar{M F}

Nach dem Satz von Pythagoras gilt:

d^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2} = r^{2}

\Rightarrow d = \sqrt{r^{2} - {(\frac{h}{2})}^{2}} = \sqrt{169 - 144} = 5

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung Ebene und Kugel

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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