Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1f (8 BE)

Berechnen Sie alle Innenwinkel der Raute und den Abstand

h

paralleler Rautenseiten.

[Teilergebnis:

h = 24

]

Lösung zu Teilaufgabe 1f

Winkel zwischen zwei Vektoren

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\vec{P Q} = (\begin{matrix} 15 \\ 12 \\ 16 \end{matrix})

\vec{P Q^{'}} = (\begin{matrix} 15 \\ - 12 \\ - 16 \end{matrix})

\bar{P Q} = \bar{P Q^{'}} = 25

(siehe Teilufgabe 1c)

Skalarprodukt bilden:

\vec{P Q} \cdot \vec{P Q^{'}} = (\begin{matrix} 15 \\ 12 \\ 16 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 15 \\ - 12 \\ - 16 \end{matrix}) = 225 - 144 - 256 = - 175

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen zwei Vektoren

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Komponenten der Vektoren:

\vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes folgt:

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | = \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

\Rightarrow \cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

\Rightarrow - 175 = \bar{P Q} \cdot \bar{P Q^{'}} \cdot \cos ϕ

\Rightarrow \cos ϕ = - \frac{175}{\bar{P Q} \cdot \bar{P Q^{'}}} = - \frac{175}{25 \cdot 25} = - \frac{7}{25}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Gegenüberliegende Winkel einer Raute sind gleich groß, benachbarte Winkel ergänzen sich zu

180^{\circ}

\Rightarrow ϕ = ϕ^{'} = 106, 26^{\circ}

\Rightarrow ρ = ρ^{'} = 180^{\circ} - ϕ = 73, 74^{\circ}

Die Innenwinkel der Raute sind

ϕ = ϕ^{'} = 106, 26^{\circ}

und

ρ = ρ^{'} = 73, 74^{\circ}

Alternative Rechnung:

\frac{\bar{Q F}}{\bar{P Q}} = \tan \frac{ϕ}{2}

, da

△ Q P F

rechtwinklig

Abstand Punkt - Gerade

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Sei

R^{'}

der Lotfußpunkt von

R

auf

\vec{P Q^{'}}

, dann ist das Dreieck

R Q^{'} R^{'}

rechtwinklig und für

h = \bar{R R^{'}}

gilt:

\frac{h}{\bar{R^{'} Q^{'}}} = \sin ρ

\Rightarrow

h = \sin ρ \cdot \bar{R^{'} Q^{'}} = 0, 96 \cdot 25 = 24

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen zwei Vektoren

Abstand Punkt - Gerade

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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