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Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 1e  (9 BE)
Begründen Sie, dass das Viereck Q P Q ′ R eine Raute ist, und ermitteln Sie deren Flächeninhalt. Fertigen Sie dazu eine Skizze an, die die gegenseitige Lage der Geraden g und der Punkte Q , P , Q ′ , R und F veranschaulicht. Wählen Sie hierfür die Ebene E als Zeichenebene.
 
Lösung zu Teilaufgabe 1e
Skizze



P ( - 8 | - 4 | 1 ) , Q ( 7 | 8 | 17 ) , Q ′ ( 7 | - 16 | - 15 ) , R ( 22 | - 4 | 1 )

g , Q ∈ E , da E von g und Q aufgespannt
Q ′ ∈ E , da Spiegelpunkt von Q an g
R ∈ E , da R ∈ g

Länge eines Vektors





P Q → = ( 15 12 16 )

P Q ′ → = ( 15 - 12 - 16 )

R Q → = ( - 15 12 16 )

R Q ′ → = ( - 15 - 12 - 16 )

Alle Seiten des Vierecks Q P Q ′ R haben dieselben Koordinaten, sie unterscheiden sich nur im Vorzeichen

⇒ | P Q → | = | P Q ′ → | = | R Q → | = | R Q ′ → |
= ( 15 12 16 ) 2 = 225 + 144 + 256 = 25

Das Viereck Q P Q ′ R ist also eine Raute, denn alle Seiten sind gleich lang.


Alternative Begründung:

Q F → steht senkrecht auf g , da F Lotfußpunkt von Q an g

Q F ¯ = Q ′ F ¯ , da Q ′ Spiegelpunkt von Q an g

P R ¯ = 30 da R Geradenpunkt zum Parameterwert λ = 30 (siehe Teilaufgabe 1a)

P F → = ( 15 0 0 ) ⇒ P F ¯ = ( 15 0 0 ) 2 = 15

⇒ P F ¯ = F R ¯

Die Diagonalen des Vierecks Q P Q ′ R stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich gegenseitig, also ist Q P Q ′ R eine Raute.
Flächeninhalt eines Vierecks



Die Raute Q P Q ′ R besteht aus vier gleiche rechtwinklige Dreiecke.

⇒ H = 4 ⋅ △ Q P F = 4 ⋅ ( 1 2 ⋅ Q F ¯ ⋅ P F ¯ ) = 4 ⋅ 1 2 ⋅ 15 ⋅ 20 = 600
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Themen dieser Aufgabe:
Skizze
Länge eines Vektors
Flächeninhalt eines Vierecks
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