Lösung Abitur Bayern 2008 Mathematik GK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (6 BE)

Weisen Sie nach, dass der Punkt

F (7 | - 4 | 1)

Fußpunkt des Lotes von

Q

auf die Gerade

g

ist. Bestimmen Sie den Abstand

d

des Punktes

Q

von der Geraden

g

.

[Ergebnis:

d = 20

]

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Lotfußpunkt auf eine Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

F (7 | - 4 | 1)

Q (7 | 8 | 17)

g : \vec{x} = \vec{O P} + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Variante 1

Lotfußpunkt bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Lotfußpunkt

F

durch Lot eines Punktes

P

auf eine Gerade

g

g : \vec{x} = \vec{x_{0}} + α \cdot \vec{a}

\vec{x_{F}} = \vec{x_{0}} + α_{F} \cdot \vec{a}

\vec{y} = \vec{x_{F}} - \vec{p}

\vec{y} \cdot \vec{a} = 0

, weil das Lot senkrecht zur Geraden

g

steht.

\Rightarrow \underset{\vec{y}}{\underset{︸}{(\vec{x_{F}} - \vec{p})}} \cdot \vec{a} = 0

Die Gleichung

(\underset{\vec{x_{F}}}{\underset{︸}{\vec{x_{0}} + α_{F} \cdot \vec{a}}} - \vec{p}) \cdot \vec{a} = 0

liefert

α_{F}

. Damit kann dann

\vec{x_{F}}

berechnet werden. Die Koordinaten von

\vec{x_{F}}

entsprechen den Koordinaten von

F

[(\begin{matrix} - 8 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 7 \\ 8 \\ 17 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = 0

\Rightarrow - 8 + λ - 7 = 0

\Rightarrow λ = 15

λ

g

einsetzen:

(\begin{matrix} - 8 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}) + 15 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}) = \vec{O F}

\Rightarrow F (7 | - 4 | 1)

ist Fußpunkt des Lotes von

Q

auf

g

.

Variante 2

F

g

einsetzen:

(\begin{matrix} 7 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow \begin{matrix} 7 & = & - 8 + λ \\ - 4 & = & - 4 \\ 1 & = & 1 \end{matrix} \Rightarrow λ = 15 \Rightarrow F \in g

\Rightarrow F

liegt auf der Geraden

g

Vektor

\vec{Q F}

bestimmen:

\vec{Q F} = \vec{O F} - \vec{O Q} = (\begin{matrix} 7 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 7 \\ 8 \\ 17 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 12 \\ - 16 \end{matrix})

Skalarprodukt von

\vec{Q F}

und Richtungsvektor der Geraden

g

bilden:

(\begin{matrix} 0 \\ - 12 \\ - 16 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = 0

\Rightarrow

Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander, also ist

F

der Fußpunkt des Lotes von

Q

auf

g

Abstand Punkt - Gerade

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d (Q, g) = \bar{Q F}

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \Rightarrow | \vec{a} | = \bar{a} = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{{\begin{matrix} a_{1} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{2} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{3} \end{matrix}}^{2}}

= \sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ - 12 \\ - 16 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Lotfußpunkt auf eine Gerade

Abstand Punkt - Gerade

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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