Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik LK Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4 (6 BE)

Ein Anteil

p \in] 0; 1 [

von Patienten leidet an der Infektion durch den MVirus. Der Nachweis dieser Krankheit durch einen Bluttest ist nicht zuverlässig. Falls jemand vom M-Virus befallen ist, dann diagnostiziert der Bluttest dies nur mit einer Wahrscheinlichkeit von

90 %

. Falls jemand nicht infiziert ist, dann diagnostiziert der Bluttest in

5 %

aller Fälle trotzdem eine M-Virusinfektion. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person tatsächlich infiziert ist, falls der Bluttest dies diagnostiziert,

\frac{90 p}{85 p + 5}

beträgt.
Für welche Werte von

p

ist diese Wahrscheinlichkeit größer als

90 %

Lösung zu Teilaufgabe 4

Bedingte Wahrscheinlichkeit

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M :

"Person ist mit M-Virus infiziert"

B :

"Bluttest ist positiv"

p = P (M)

q = 1 - p = 1 - P (M) = P (\bar{M})

P (B nach M) = 90 % = 0, 9 \Rightarrow P (\bar{B} nach M) = 1 - 0, 9 = 0, 1

P (B nach \bar{M}) = 5 % = 0, 05 \Rightarrow P (\bar{B} nach \bar{M}) = 1 - 0, 05 = 0, 95

\Rightarrow P_{B} (M) = \frac{P (M \cap B)}{P (B)} = \frac{0, 9 \overset{\cdot}{p}}{0, 9 \cdot p + 0, 05 \cdot (1 - p)} \cdot \frac{100}{100} = \frac{90 p}{85 p + 5}

Die bedingte Wahrscheinlichkeit soll größer als

90 %

sein:

\frac{90 p}{85 p + 5} > 0, 9

\Rightarrow 90 p > 0, 9 \cdot (85 p + 5)

\Rightarrow 90 p > 76, 5 p + 4, 5

\Rightarrow p > \frac{1}{3}

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Themen dieser Aufgabe:

Bedingte Wahrscheinlichkeit

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