Abitur 2007 Mathematik LK Stochastik III

In einer Gemeinschaftspraxis von Augenärzten ergab eine mehrjährige Auswertung der Patientenkartei, dass im Durchschnitt jeder 15. Patient an Grauem Star leidet.

Teilaufgabe 1a (2 BE)

Im Laufe eines Vormittags rufen unabhängig voneinander 15 Personen an und bitten um einen Termin. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat genau eine dieser Personen Grauen Star?

Teilaufgabe 1b (4 BE)

Wie viele Personen müssen unabhängig voneinander um einen Termin bitten, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als

90 %

mindestens einer darunter ist, der an Grauem Star leidet?

Teilaufgabe 2 (4 BE)

Der Pharmakonzern Medicash forscht nach einem neuen Medikament.
Es stehen 6 verschiedene Wirkstoffe zur Auswahl. Im Labor werden Testsubstanzen aus mindestens zwei Wirkstoffen gemischt, wobei von jedem beteiligten Wirkstoff jeweils genau ein Milligramm enthalten sein soll. Wie viele verschiedene Wirkstoffkombinationen sind möglich?

Teilaufgabe 3 (5 BE)

Ein Labor entwickelt einen neuen Impfstoff und testet ihn in einem Tierversuch mit 900 Mäusen. Mit dem Impfstoff werden nur dann klinische Studien durchgeführt, wenn sich dabei in weniger als

2 %

der Fälle unerwünschte Nebenwirkungen zeigen. Bestimmen Sie für die Nullhypothese

H_{0} : p \geq 2 %

die Entscheidungsregel für den Test mit 900 Mäusen auf dem Signifikanzniveau von

1 %

. Verwenden Sie
die Normalverteilung als Näherung.

Teilaufgabe 4 (6 BE)

Ein Anteil

p \in] 0; 1 [

von Patienten leidet an der Infektion durch den MVirus. Der Nachweis dieser Krankheit durch einen Bluttest ist nicht zuverlässig. Falls jemand vom M-Virus befallen ist, dann diagnostiziert der Bluttest dies nur mit einer Wahrscheinlichkeit von

90 %

. Falls jemand nicht infiziert ist, dann diagnostiziert der Bluttest in

5 %

aller Fälle trotzdem eine M-Virusinfektion. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person tatsächlich infiziert ist, falls der Bluttest dies diagnostiziert,

\frac{90 p}{85 p + 5}

beträgt.
Für welche Werte von

p

ist diese Wahrscheinlichkeit größer als

90 %

In einer Spezialklinik hält sich jeder Patient (unabhängig von anderen Patienten) mindestens 3 Tage, höchstens aber 5 Tage auf. Die Verwaltung legt für die Aufenthaltsdauer X eines Patienten in Tagen folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrunde:

Jeder Patient zahlt für die Aufnahme 110 € Verwaltungsgebühr und 450 € pro Aufenthaltstag.

Teilaufgabe 5a (6 BE)

Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsgröße

Y

: Einnahmen pro Patient (in €).

[Ergebnis:

E (Y) = 1775; σ_{Y} = 405

]

Teilaufgabe 5b (6 BE)

Die Klinik benötigt jährlich mindestens 4,4 Millionen Euro Einnahmen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei einer jährlichen Belegung von 2500 Patienten mindestens dieser Betrag erreicht? Nach dem zentralen Grenzwertsatz kann die Normalverteilung zugrunde gelegt werden.

Bei einer Bernoulli-Kette der Länge

n > 1

und der Trefferwahrscheinlichkeit

p

ist die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer maximal, wenn

μ = p \cdot n = 2

gilt (Nachweis nicht erforderlich).

Teilaufgabe 6a (4 BE)

Zeigen Sie, dass für diese maximale Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von

n

gilt:

P (n) = (2 - \frac{2}{n}) {(1 - \frac{2}{n})}^{n - 2}

Teilaufgabe 6b (3 BE)

Gegen welchen Grenzwert strebt

P (n)

für

n \to \infty

?

(Hinweis: Der Grenzwert

lim_{ν \to \infty} {(1 + \frac{k}{ν})}^{ν} = e^{k}

für

k \in ℝ

darf ohne Nachweis benutzt werden.)

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 4

Teilaufgabe 5a

Teilaufgabe 5b

Teilaufgabe 6a

Teilaufgabe 6b

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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