Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (6 BE)

Ermitteln Sie die Koordinaten zweier Punkte

B

und

B^{'}

auf der Geraden

g

so, dass die Dreiecke

A B C

und

A C B^{'}

gleichschenklig mit Basis

[B C]

bzw.

[B^{'} C]

sind.

B

sei derjenige der beiden Punkte mit positiver

x_{1}

-Koordinate.
[Teilergebnis:

B (20 | 2 | - 18)

]

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Lage eines Punktes

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Variante 1

A B C

und

A C B^{'}

sollen gleichschenklig sein:

\Rightarrow \bar{A B} = \bar{A C} = \bar{A B^{'}}

\bar{A C} = | \vec{A C} | =

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \Rightarrow | \vec{a} | = \bar{a} = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{{\begin{matrix} a_{1} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{2} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{3} \end{matrix}}^{2}}

= | \vec{O C} - \vec{O A} | = | (\begin{matrix} 12 \\ 2 \\ 26 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 24 \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 24 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{625} = 25

B

liegt auf der Geraden

g

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Da der Punkt

B

auf der Geraden

g

liegt, erfüllen seine Koordinaten die Geradengleichung.

\Rightarrow \vec{O B} = \underset{\vec{O A}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})}} + λ \cdot \underset{\vec{a}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})}}

Um also den Punkt

B

zu erreichen, bewegt man sich vom Ursprung

O

an zum Punkt

A

(also entlang dem Ortsvektor

\vec{O A}

) und dann

λ

-mal den Richtungsvektor

\vec{a}

(also entlang der Geraden

g

um die Strecke

\bar{A C}

, denn

\bar{A B}

soll gleich

\bar{A C}

sein)

Der Richtungsvektor

\vec{a}

hat eine Länge von

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) | = {\sqrt{(\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})}}^{2} = \sqrt{25} = 5

Die Strecke

\bar{A B}

soll 25 lang sein

\Rightarrow λ = \frac{25}{5} = 5

\Rightarrow

\vec{O B^{'}} = \vec{O A} + 5 \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + 5 \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 10 \\ 2 \\ 22 \end{matrix})

\Rightarrow

\vec{O B} = \vec{O A} - 5 \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) - 5 \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 \\ 2 \\ - 18 \end{matrix})

Variante 2

B \in g \Rightarrow B (5 - 3 λ | 2 | 2 + 4 λ)

\Rightarrow \vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{matrix} 5 - 3 λ - 5 \\ 2 - 2 \\ 2 + 4 λ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 λ \\ 0 \\ 4 λ \end{matrix})

\Rightarrow \bar{A B} = | \vec{A B} | =

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \Rightarrow | \vec{a} | = \bar{a} = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{{\begin{matrix} a_{1} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{2} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{3} \end{matrix}}^{2}}

= \sqrt{{(\begin{matrix} - 3 λ \\ 0 \\ 4 λ \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{25 λ^{2}}

\bar{A C} = 25

(s. oben)

\bar{A B} = \bar{A C} \Rightarrow \sqrt{25 λ^{2}} = 25 |^{2} \Rightarrow 25 λ^{2} = 625 \Rightarrow λ^{2} = 25

\Rightarrow λ_{1, 2} = \pm 5

Einsetzen von

λ_{1} = 5

B

B_{1} = B^{'} (- 10 | 2 | 22)

Einsetzen von

λ_{2} = - 5

B

B_{2} = B (20 | 2 | - 18)

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
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