Lösung Abitur Bayern 2007 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (5 BE)

Berechnen Sie den Schnittwinkel

α

von

g

und

h

.
Geben Sie mit Begründung die Größe des Schnittwinkels von

h

und

E

an.

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Winkel zwischen zwei Vektoren

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Richtungsvektor der Geraden

g

\vec{a} = (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

Richtungsvektor der Geraden

h

\vec{b} = (\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 24 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Komponenten der Vektoren:

\vec{a} \cdot \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes folgt:

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | = \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

\Rightarrow \cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

\Rightarrow \cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{(\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 24 \end{matrix})}{| (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 24 \end{matrix}) |} = \frac{75}{| (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 24 \end{matrix}) |} =

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \Rightarrow | \vec{a} | = \bar{a} = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{{\begin{matrix} a_{1} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{2} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{3} \end{matrix}}^{2}}

= \frac{75}{\sqrt{{(\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})}^{2}} \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} 7 \\ 0 \\ 24 \end{matrix})}^{2}}} = \frac{75}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{625}} = \frac{75}{5 \cdot 25} = \frac{3}{5}

\Rightarrow α = \arccos \frac{3}{5} \approx 53, 13^{\circ}

Winkel zwischen Gerade und Ebene

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Der Schnittwinkel von

h

und

E

ist gleich dem Schnittwinkel

α

von

g

und

h

\Rightarrow ∡ (h, E) = ∡ (g, h) = α \approx 53, 13^{\circ}

Begründung:

g

und

h

liegen in

F

, die Lotebene zu

E

, und

g

verläuft parallel zu

E

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen zwei Vektoren

Winkel zwischen Gerade und Ebene

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