Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1e (7 BE)

Die beiden Koordinatenachsen und

G_{k}

begrenzen im zweiten Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück. Veranschaulichen Sie dieses Flächenstück in einer Skizze. Zeigen Sie, dass das Flächenstück den endlichen Inhalt

\ln 2

besitzt.

(Hinweis: Für die Integration ist es hilfreich, den Funktionsterm mit

e^{k x}

zu erweitern.)

Lösung zu Teilaufgabe 1e

Skizze

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Flächenberechnung

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Die Fläche die von

G_{k}

und den beiden Koordinatenachsen begrenzt wird, ist gleich dem uneigenltichen Integral:

\int_{- \infty}^{0} f_{k} (x) ⅆ x

F L = \int_{- \infty}^{0} f_{k} (x) ⅆ x = \lim_{b \to - \infty} \int_{b}^{0} \frac{k}{1 + e^{- k x}} ⅆ x = \lim_{b \to - \infty} \int_{b}^{0} \frac{k}{1 + e^{- k x}} \cdot \underset{T e r m}{\underset{\underset{}{e r w e i t e r t e r}}{\underset{⏟}{\frac{e^{k x}}{e^{k x}}}}} ⅆ x = \lim_{b \to - \infty} \int_{b}^{0} \frac{k e^{k x}}{e^{k x} + 1} ⅆ x =

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktion von f dann gilt:

\int_{a}^{b} f (x) ⅆ x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

= \lim_{b \to - \infty} {[F_{k} (x)]}_{b}^{0} =

Schritt einblenden / ausblenden

Kettenregel der Differenzialrechnung

{(\ln g (x))}^{'} = \frac{g^{'} (x)}{g (x)}

In diesem Fall ist

\frac{g^{'} (x)}{g (x)} = \frac{k e^{k x}}{e^{k x} + 1} \Rightarrow F_{k} (x) = \ln (e^{k x} + 1)

= \lim_{b \to - \infty} {[\ln (e^{k x} + 1)]}_{b}^{0} = \lim_{b \to - \infty} (\ln 2 - \underset{\to 0}{\underset{⏟}{\ln (\underset{\to 0}{\underset{⏟}{e^{k b}}} + 1)}}) = \ln 2

Die Fläche

F L

(blau) hat den endlichen Inhalt

\ln 2

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Teilaufgabe 2d

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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