Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (6 BE)

Weisen Sie nach, dass für alle

k \in ℝ^{+}

und alle

x \in ℝ

gilt:

f_{k} (x) + f_{k} (- x) = k

. Begründen Sie damit die Symmetrie von

G_{k}

zum Punkt

W_{k}

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Symmetrieverhalten einer Funktion

Variante 1 (mit Termerweiterung laut Aufgabe 1e):

f_{k} (- x) + f_{k} (x) = \frac{k}{1 + e^{k x}} + \frac{k}{1 + e^{- k x}} = \frac{k}{1 + e^{k x}} + \frac{k}{1 + e^{- k x}} \cdot \frac{e^{k x}}{e^{k x}} = k \cdot \frac{1 + e^{k x}}{1 + e^{k x}} = k

Variante 2 (gemeinsamer Nenner):

f_{k} (- x) + f_{k} (x) = \frac{k}{1 + e^{k x}} + \frac{k}{1 + e^{- k x}} = \frac{k \cdot (1 + e^{- k x}) + k \cdot (1 + e^{k x})}{(1 + e^{k x}) \cdot (1 + e^{- k x})} =

= \frac{2 k + {k e}^{- k x} + k e^{k x}}{1 + e^{k x} + e^{- k x} + 1} = \frac{k \cdot (2 + e^{k x} + e^{- k x})}{2 + e^{k x} + e^{- k x}} = k

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Symmetrie des Graphen einer Funktion zu einem Punkt

Allgemein gilt dass der Graph einer Funktion f symmetrisch zu einem Punkt

P (p_{1} | p_{2})

ist, genau dann wenn:

p_{2} - f (p_{1} + x) = f (p_{1} - x) - p_{2}

\Leftrightarrow 2 p_{2} = f (p_{1} + x) + f (p_{1} - x)

In diesem Fall ist

p_{1} = 0

und

p_{2} = \frac{k}{2}

Die Abbildung zeigt die geometrische Bedeutung der oben genannten Formel.

Aus der Symmetrie von

G_{k}

zum Punkt

W_{k}

folgt:

f_{k} (x) - \frac{k}{2} = \frac{k}{2} - f_{k} (- x) \Leftrightarrow f_{k} (x) + f_{k} (- x) = k

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Teilaufgabe 2b

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Themen dieser Aufgabe:

Symmetrieverhalten einer Funktion

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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