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Abitur 2006 Mathematik LK Infinitesimalrechnung II

Gegeben ist die Schar der Funktionen $f_{k} : x \mapsto \frac{k}{1 + e^{- k x}}$ mit $k \in ℝ^{+}$ und Definitionsmenge $D_{k} = ℝ$ . $G_{k}$ bezeichnet den Graphen von $f_{k}$ .

Teilaufgabe 1a (2 BE)

Untersuchen Sie das Verhalten von $f_{k}$ für $x \to + \infty$ und $x \to - \infty$ .

Teilaufgabe 1b (4 BE)

Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von $f_{k}$ und geben Sie die Wertemenge an.
[mögliches Zwischenergebnis: ${f_{k}}^{'} (x) = \frac{k^{2} e^{- k x}}{{(1 + e^{- k x})}^{2}}$ ]

Teilaufgabe 1c (7 BE)

Weisen Sie nach, dass der Punkt $W_{k} = (0 | \frac{k}{2})$ der einzige Wendepunkt von $G_{k}$ ist.

Teilaufgabe 1d (6 BE)

Weisen Sie nach, dass für alle $k \in ℝ^{+}$ und alle $x \in ℝ$ gilt: $f_{k} (x) + f_{k} (- x) = k$ . Begründen Sie damit die Symmetrie von $G_{k}$ zum Punkt $W_{k}$ .

Teilaufgabe 1e (7 BE)

Die beiden Koordinatenachsen und $G_{k}$ begrenzen im zweiten Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück. Veranschaulichen Sie dieses Flächenstück in einer Skizze. Zeigen Sie, dass das Flächenstück den endlichen Inhalt $\ln 2$ besitzt.

(Hinweis: Für die Integration ist es hilfreich, den Funktionsterm mit $e^{k x}$ zu erweitern.)

Bei vielen Wachstumsvorgängen ist kein unbeschränktes Wachstum möglich. Dies gilt z. B. auch für eine Bakterienkultur, deren Bakterienzahl schließlich einer oberen Grenze entgegenstrebt. Die Zahl der Bakterien einer Kultur wird näherungsweise durch die Funktion N mit $N (x) = 10^{6} \cdot \frac{2}{1 + e^{- 2 (x - 6, 908)}}$ , $x \geq 0$ , beschrieben. Dabei gibt x die Zeit in Stunden an, die seit dem Ansetzen der Bakterienkultur vergangen ist. Die Abbildung zeigt den Graphen von N.

Teilaufgabe 2a (2 BE)

Geben Sie an, wie der Graph von N aus $G_{2}$ der Aufgabe 1 entsteht.

Teilaufgabe 2b (3 BE)

Mit wie vielen Bakterien wurde die Kultur angesetzt, wie viele Bakterien sind es nach zwei Stunden?

Teilaufgabe 2c (5 BE)

Berechnen Sie, nach welcher Zeit 90 % des Grenzbestandes von 2 Millionen Bakterien erreicht sind.

Teilaufgabe 2d (4 BE)

Schätzen Sie rechnerisch ab, wie viele Bakterien in der Minute stärksten Wachstums hinzukommen.

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