Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3c (6 BE)

Berechnen Sie die Volumenverkleinerung der Schachtel und die Oberflächenabnahme der Schachtel, wenn in gleicher Weise wie durch

S_{4}

an der Ecke F an allen Würfelecken Pyramiden abgeschnitten werden.

Lösung zu Teilaufgabe 3c

Volumen einer Pyramide

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Das Volumen der Pyramide

P_{4} F_{2} F_{1} F

ist gleich

\frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Die Grundfläche ist das Dreieck

P_{4} F_{1} F

\Rightarrow G = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8

Die Höhe der Pyramide ist gleich 4

\Rightarrow h = 4

\Rightarrow V_{P y r .} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 4 = \frac{32}{3}

Es werden 8 solcher Pyramiden abgeschnitten, also ist die Volumenminderung gleich

8 \cdot \frac{32}{3}

Oberfläche einer Pyramide

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Wird an einer Ecke der Schachtel solch eine Pyramide abgeschnitten, dann wird die Oberfläche der Schachtel um die 3 Seitenflächen der Pyramide verkleinert und um die Schnittfläche vergrößert.

Seitenfläche

= 3 \cdot 8

Schnittfläche

= \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{2} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{2} \cdot (\sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}}) =

= 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{31 - 8} = 2 \sqrt{2} \sqrt{24} = 8 \sqrt{3}

Bei 8 Ecken ergibt sich eine Oberflächenminderung von

8 \cdot [(3 \cdot 8) - 8 \sqrt{3}] = 8 \cdot 8 (3 - \sqrt{3})

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

Teilaufgabe 3d

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen einer Pyramide

Oberfläche einer Pyramide

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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