Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (2 BE)

Gegeben ist eine Kugel K mit dem Radius 5, die in eine im Koordinatensystem stehende würfelförmige Schachtel ABCDEFGH mit der Kantenlänge 10 (siehe Abbildung) verpackt ist, sowie die Punkteschar

P_{a} (10 | 0 | \frac{5 (a + 2)}{a + 1})

mit dem Parameter

a \in ℝ_{0}^{+}

Wie viel Prozent des Schachtelvolumens füllt die Kugel aus?

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Volumen einer Kugel

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Volumen der Schachtel ABCDEFGH:

V_{S} = l \cdot l \cdot l = l^{3} = 10^{3}

Volumen der Kugel:

V_{K} = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π = \frac{4}{3} \cdot 5^{3} \cdot π

\Rightarrow \frac{V_{K}}{V_{S}} = \frac{\frac{4}{3} \cdot 5^{3} \cdot π}{10^{3}} = \frac{π}{6}

Die Kugel füllt

\frac{π}{6} \cdot 100 % \approx 52, 36 %

des Schachtelvolumens aus.

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Volumen einer Kugel

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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