Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3a (5 BE)

Im Folgenden sei

a = 4

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Ebene

S_{4}

die Kugel nicht schneidet.

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Lagebeziehung Ebene und Kugel

S_{4} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) - 16 = 0

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Hesse-Normalenform der Ebene

Die Hesse-Normalform einer Ebene H entsteht durch Teilung der Normalenform der Ebene mit dem Betrag des Normalenvektors.

H_{\vec{n_{H}}} : \vec{x} \cdot \vec{n_{H}} - d = 0

\Rightarrow

H^{H N F} : \frac{\vec{x} \cdot \vec{n_{H}} - d}{| \vec{n_{H}} |} = 0

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes P in die Hesse-Normalform der Ebene E, bestimmt man den Abstand des Punktes zur Ebene.

d (P, H) = | H^{H N F} (P) | = | \frac{(\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}) \cdot \vec{n_{H}} - d}{| \vec{n_{H}} |} |

{S_{4}}^{H N F} : \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) - 16}{\sqrt{{(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})}^{2}}} = \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) - 16}{\sqrt{3}}

Der Abstand der Ebene

S_{4}

vom Mittelpunkt M der Kugel K ist:

d (S_{4}, M) = | \frac{(\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) - 16}{\sqrt{3}} | = | \frac{5 - 16}{\sqrt{3}} | = \frac{11}{\sqrt{3}} \approx 6, 35

,

also größer als der Radius der Kugel K (

r = 5

)

Die Ebene

S_{4}

schneidet nicht die Kugel K.

\Rightarrow S_{4} \cap K = \emptyset

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Teilaufgabe 3d

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung Ebene und Kugel

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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