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Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe 1c  (5 BE)
Geben Sie die kürzeste Strecke an, auf der sich der Punkt   P a   bewegt, wenn a das Intervall   [ 0 ; ∞ [   durchläuft. Begründen Sie Ihre Antwort.
 
Lösung zu Teilaufgabe 1c
Grenzwert bestimmen



Wenn a das Intervall   [ 0 ; ∞ [   durchläuft, dann verändert sich die   x 3 -Koordinate des Punktes   P a  :

x 3 P a = 5 ( a + 2 ) a + 1
lim a → ∞ x 3 P a = lim a → ∞ 5 ( a + 2 ) a + 1 = lim a → ∞ 5 ⋅ a a + 2 a a a + 1 a = lim a → ∞ 5 ⋅ 1 + 2 a ⏞ → 0 1 + 1 a ⏟ → 0 = 5
x 3 P a ( a = 0 ) = 5 ⋅ 0 + 2 0 + 1 = 10
Erste Ableitung bilden:

x 3 P a ′ ( a ) = ( 5 ⋅ a + 2 a + 1 ) ′ = 5 ⋅ a + 1 − ( a + 2 ) ( a + 1 ) 2 = − 5 ( a + 1 ) 2
Da der Nenner im Quadrat steht, ist   x 3 P a ′ ( a ) < 0   für alle   a ∈ ℝ 0 +  .
Die Funktion   x 3 P a ( a )   ist auf dem Intervall   [ 0 ; ∞ [   streng monoton fallend, hat somit keine Extrempunkte.
⇒ P a   bewegt sich auf der   x 3 -Achse zwischen 5 und 10.
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Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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