Lösung Abitur Bayern 2006 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1e (6 BE)

Bestimmen Sie die Innenwinkel dieses Trapezes und zeigen Sie, dass es den Flächeninhalt 40 hat.

Lösung zu Teilaufgabe 1e

Winkel zwischen zwei Vektoren

\cos (ϕ) = \frac{\vec{F A} \cdot \vec{F D}}{\bar{F A} \cdot \bar{F D}} = \frac{(\vec{O A} - \vec{O F}) \cdot (\vec{O D} - \vec{O F})}{\bar{F A} \cdot \bar{F D}} =

= \frac{[(\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ - 6 \\ 3 \end{matrix})] \cdot [(\begin{matrix} 6 \\ - 2 \\ 7 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ - 6 \\ 3 \end{matrix})]}{\bar{F A} \cdot \bar{F D}} = \frac{(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{matrix})}{\bar{F A} \cdot \bar{F D}} =

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \Rightarrow | \vec{a} | = \bar{a} = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{{\begin{matrix} a_{1} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{2} \end{matrix}}^{2} + {\begin{matrix} a_{3} \end{matrix}}^{2}}

= \frac{16}{\sqrt{{(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})}^{2}} \cdot \sqrt{{(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{matrix})}^{2}}} = \frac{16}{4 \cdot \sqrt{41}} = \frac{4}{41}

\Rightarrow ϕ = \cos^{-1} (\frac{4}{\sqrt{41}}) \approx 51, 3^{°}

Schritt einblenden / ausblenden

Winkelsumme im Viereck

Die Winkelsumme in einem Viereck ist 360°.

Aus der Achsensymmetrie von ECDF folgt:

180^{°} = ω + ϕ

und

ϕ_{1} = ϕ_{2}, ω_{1} = ω_{2}

\Rightarrow ω = 180^{°} - ϕ \approx 128, 7^{°}

Flächeninhalt eines Trapezes

Aus

\bar{F A} = \bar{B E}

und

ϕ_{1} = ϕ_{2}

folgt, dass die Dreiecke DAF und CBE kongruent sind.

Da

\bar{F A} = \bar{B E} = \bar{A B}

ist die Fläche des Dreiecks gleich

\frac{1}{2} \cdot Q_{A, B, C, D}

\Rightarrow Q_{T r a p e z} = Q_{A, B, C, D} + 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot Q_{A, B, C, D}) = 2 \cdot Q_{A, B, C, D} = 2 \cdot 20 = 40

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Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen zwei Vektoren

Flächeninhalt eines Trapezes

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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